(e) Escreva as equações da corrente no indutor e da tensão no capacitor em função do tempo para 0 0,03 ms.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrevermos as equações da corrente no indutor e da tensão no capacitor em função do tempo para o intervalo de . Estamos lidando com um circuito RLC, que combina resistência ®, indutância (L) e capacitância ©. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações diferenciais que descrevem o comportamento desses componentes em um circuito. Vamos dividir isso em passos para facilitar o entendimento!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RLC série, a corrente L d^2i(t)dt^2 + R di(t)dt + 1C i(t) = 0 e a tensão no capacitor podem ser descritas por equações que envolvem a solução de uma equação diferencial de segunda ordem. A equação geral é:
Aqui, é a indutância, é a resistência e é a capacitância.

Passo 3

Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma L s^2 + R s + 1C = 0 , onde é a amplitude da corrente e é uma constante que vamos determinar. Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática para , encontramos as raízes que nos dizem como a corrente e a tensão no capacitor vão se comportar com o tempo.

Passo 4

Dependendo das raízes i(t) = I e^-alpha t cos(omegad t + phi) , que podem ser reais ou complexas, o sistema pode ser subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido. Vamos supor que o sistema é subamortecido, o que significa que temos raízes complexas. Nesse caso, a solução para a corrente é:
Onde:
  • é a taxa de decaimento
  • é a frequência de oscilação amortecida
  • é a fase inicial

Passo 5

Para encontrar a tensão no capacitor, usamos a relação vC(t) = IC e^-alpha t ( cos(omegad t + phi)omegad + alpha sin(omegad t + phi)omegad^2 ) + V0 . Integrando a expressão da corrente, obtemos:
Onde é a tensão inicial no capacitor.

Passo 6

Finalmente, substituímos os valores conhecidos de , , , e as condições iniciais para determinar as constantes , , , e . Com esses valores, temos as equações completas para e no intervalo de .

Resposta

As equações da corrente no indutor e da tensão no capacitor em função do tempo para i(t) = I e^-alpha t cos(omegad t + phi) são:
vC(t) = IC e^-alpha t ( cos(omegad t + phi)omegad + alpha sin(omegad t + phi)omegad^2 ) + V0

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