(e) Escreva as equações da corrente no indutor e da tensão no capacitor em função do tempo para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrevermos as equações da corrente no indutor e da tensão no capacitor em função do tempo para o intervalo de
. Estamos lidando com um circuito RLC, que combina resistência ®, indutância (L) e capacitância ©. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações diferenciais que descrevem o comportamento desses componentes em um circuito. Vamos dividir isso em passos para facilitar o entendimento!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RLC série, a corrente
e a tensão no capacitor
podem ser descritas por equações que envolvem a solução de uma equação diferencial de segunda ordem. A equação geral é:
Aqui,
é a indutância,
é a resistência e
é a capacitância.
Passo 3
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma
, onde
é a amplitude da corrente e
é uma constante que vamos determinar. Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática para
, encontramos as raízes que nos dizem como a corrente e a tensão no capacitor vão se comportar com o tempo.
Passo 4
Dependendo das raízes
, que podem ser reais ou complexas, o sistema pode ser subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido. Vamos supor que o sistema é subamortecido, o que significa que temos raízes complexas. Nesse caso, a solução para a corrente é:
Onde:
-
é a taxa de decaimento -
é a frequência de oscilação amortecida -
é a fase inicial
Passo 5
Para encontrar a tensão no capacitor, usamos a relação
. Integrando a expressão da corrente, obtemos:
Onde
é a tensão inicial no capacitor.
Passo 6
Finalmente, substituímos os valores conhecidos de
,
,
, e as condições iniciais para determinar as constantes
,
,
, e
. Com esses valores, temos as equações completas para
e
no intervalo de
.
Resposta
As equações da corrente no indutor e da tensão no capacitor em função do tempo para
são:
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