(i) Mostre que a energia total se conserva e determine o seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para mostrar que a energia total se conserva e para determinar o seu valor. Isso entra na área de Física, mais especificamente no estudo da conservação da energia. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são energia cinética e energia potencial, além de como elas se combinam para formar a energia total do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total (
) de um sistema mecânico é a soma da energia cinética (
) e da energia potencial (
):
A energia cinética é a energia que um objeto tem devido ao seu movimento e é dada por:
onde:
-
é a massa do objeto, -
é a velocidade do objeto.
A energia potencial depende da posição do objeto em um campo de forças, como a gravidade ou a força de uma mola. Por exemplo, a energia potencial gravitacional é:
onde:
-
é a altura do objeto em relação a um ponto de referência, -
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Para mostrar que a energia total se conserva, precisamos provar que a energia total não muda com o tempo, ou seja, sua derivada em relação ao tempo é zero:
Isso significa que qualquer variação na energia cinética é compensada por uma variação na energia potencial, e vice-versa, mantendo a energia total constante.
Passo 4
Agora, vamos determinar o valor da energia total. Para isso, podemos analisar o sistema em um ponto específico onde a energia cinética ou a energia potencial seja fácil de calcular. Por exemplo, suponha que temos um objeto em movimento onde sabemos a massa (
) e a velocidade inicial (
) em um ponto onde a energia potencial é zero (como no nível mais baixo de uma trajetória).
Nesse caso, a energia total seria simplesmente a energia cinética inicial:
Resposta
A energia total do sistema se conserva e seu valor é igual a
.
Exercícios relacionados
(a) Explique os resultados obtidos para a corrente em
e
.
(b) Determine a energia fornecida pela fonte ao circuito entre
e
.
a) Por que a tensão no resistor é máxima em
e decresce com o tempo enquanto a fonte permanece ligada
?
(e) Escreva as equações da corrente no indutor e da tensão no capacitor em função do tempo para
.