(i) Mostre que a energia total se conserva e determine o seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para mostrar que a energia total se conserva e para determinar o seu valor. Isso entra na área de Física, mais especificamente no estudo da conservação da energia. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são energia cinética e energia potencial, além de como elas se combinam para formar a energia total do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total ( ) de um sistema mecânico é a soma da energia cinética ( ) e da energia potencial ( ):
A energia cinética é a energia que um objeto tem devido ao seu movimento e é dada por:
onde:
  • é a massa do objeto,
  • é a velocidade do objeto.
A energia potencial depende da posição do objeto em um campo de forças, como a gravidade ou a força de uma mola. Por exemplo, a energia potencial gravitacional é:
onde:
  • é a altura do objeto em relação a um ponto de referência,
  • é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Para mostrar que a energia total se conserva, precisamos provar que a energia total não muda com o tempo, ou seja, sua derivada em relação ao tempo é zero:
Isso significa que qualquer variação na energia cinética é compensada por uma variação na energia potencial, e vice-versa, mantendo a energia total constante.

Passo 4

Agora, vamos determinar o valor da energia total. Para isso, podemos analisar o sistema em um ponto específico onde a energia cinética ou a energia potencial seja fácil de calcular. Por exemplo, suponha que temos um objeto em movimento onde sabemos a massa ( ) e a velocidade inicial ( ) em um ponto onde a energia potencial é zero (como no nível mais baixo de uma trajetória).
Nesse caso, a energia total seria simplesmente a energia cinética inicial:

Resposta

A energia total do sistema se conserva e seu valor é igual a .

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