O vetor intensidade do campo magnético complexo de uma onda eletromagnética propagando através de um meio não magnético sem perdas é dado por
(x em m) em uma frequência de
. Encontre: (a) a direção de propagação, o período de tempo, o comprimento da onda e a velocidade de fase da onda, a permissividade relativa e impedância intrínseca do meio, (b) o vetor intensidade do campo elétrico complexo e os vetores do campo magnético e elétrico da onda, e © as densidades de energia eletromagnética médio no tempo e o vetor de Poynting complexo da onda.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que precisamos usar. Temos um vetor de intensidade do campo magnético complexo de uma onda eletromagnética que se propaga em um meio não magnético e sem perdas. A onda é dada por:
com
em metros e frequência
. Precisamos encontrar:
a) Direção de propagação, período de tempo, comprimento de onda, velocidade de fase, permissividade relativa e impedância intrínseca do meio.
b) Vetor intensidade do campo elétrico complexo e os vetores dos campos elétrico e magnético da onda.
c) Densidades de energia eletromagnética média no tempo e o vetor de Poynting complexo da onda.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas eletromagnéticas, como a relação entre campos elétrico e magnético, velocidade de propagação, permissividade e permeabilidade do meio, além de fórmulas para energia e fluxo de energia nas ondas.
Passo 2
a) Direção de propagação, período de tempo, comprimento de onda, velocidade de fase, permissividade relativa e impedância intrínseca do meio.
Primeiro, vamos identificar a direção de propagação da onda. A forma do campo magnético é
, que sugere uma dependência exponencial negativa com
. Em ondas eletromagnéticas, a parte exponencial
indica propagação na direção positiva de
se o sinal for negativo no expoente. Portanto, a onda está se propagando na direção positiva de
.
Passo 3
Para encontrar o período de tempo (
), usamos a relação entre frequência (
) e período:
Dado que
, então:
Passo 4
Agora, para encontrar o comprimento de onda (
), usamos a relação entre velocidade de fase (
), frequência e comprimento de onda:
Mas primeiro precisamos encontrar a velocidade de fase. Sabemos que a velocidade de fase está relacionada à permissividade (
) e permeabilidade (
) do meio:
Como o meio é não magnético,
, onde
.
No entanto, sem a permissividade, precisamos usar a relação do número de onda (
) com
e
:
Dado que
é o número de onda no expoente
, temos
. A frequência angular
é
:
Portanto:
Então, o comprimento de onda é:
Passo 5
Com a velocidade de fase
e sabendo que
, podemos encontrar a permissividade relativa (
).
Sabemos que
, onde
.
Então,
Rearranjando para encontrar
:
Sabendo que
, onde
, então:
Passo 6
Agora, para encontrar a impedância intrínseca (
) do meio, usamos:
Substituindo
e
:
Onde
. Assim:
Passo 7
b) Vetor intensidade do campo elétrico complexo e os vetores dos campos elétrico e magnético da onda.
Usamos a relação entre os campos elétrico (
) e magnético (
) em uma onda plana:
Onde
é a direção de propagação da onda, que neste caso é
.
Dado que
, então:
Calculando o produto vetorial:
Portanto:
Substituindo
:
Passo 8
c) Densidades de energia eletromagnética média no tempo e o vetor de Poynting complexo da onda.
A densidade de energia eletromagnética total (
) é a soma das densidades de energia do campo elétrico (
) e do campo magnético (
):
Como
e
:
Substituindo
e
:
Então:
Calculando os termos:
Portanto:
Para o vetor de Poynting complexo (
), usamos:
Onde
é o conjugado complexo de
.
Dado
e
:
Então:
Sabendo que
:
Resposta
A direção de propagação é ao longo do eixo positivo
. O período de tempo é
segundos, o comprimento de onda é
metros, e a velocidade de fase da onda é
m/s. A permissividade relativa do meio é
e a impedância intrínseca é aproximadamente
.
O vetor intensidade do campo elétrico complexo é
. Os vetores dos campos elétrico e magnético da onda são
e
, respectivamente.
A densidade de energia eletromagnética média no tempo é aproximadamente
e o vetor de Poynting complexo da onda é
.