O vetor intensidade do campo magnético complexo de uma onda eletromagnética propagando através de um meio não magnético sem perdas é dado por H=e^-j pi x z A / m (x em m) em uma frequência de f=75 MHz. Encontre: (a) a direção de propagação, o período de tempo, o comprimento da onda e a velocidade de fase da onda, a permissividade relativa e impedância intrínseca do meio, (b) o vetor intensidade do campo elétrico complexo e os vetores do campo magnético e elétrico da onda, e © as densidades de energia eletromagnética médio no tempo e o vetor de Poynting complexo da onda.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que precisamos usar. Temos um vetor de intensidade do campo magnético complexo de uma onda eletromagnética que se propaga em um meio não magnético e sem perdas. A onda é dada por:
H = e^-j pi x z , A/m
com em metros e frequência . Precisamos encontrar:
a) Direção de propagação, período de tempo, comprimento de onda, velocidade de fase, permissividade relativa e impedância intrínseca do meio.
b) Vetor intensidade do campo elétrico complexo e os vetores dos campos elétrico e magnético da onda.
c) Densidades de energia eletromagnética média no tempo e o vetor de Poynting complexo da onda.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas eletromagnéticas, como a relação entre campos elétrico e magnético, velocidade de propagação, permissividade e permeabilidade do meio, além de fórmulas para energia e fluxo de energia nas ondas.

Passo 2

a) Direção de propagação, período de tempo, comprimento de onda, velocidade de fase, permissividade relativa e impedância intrínseca do meio.
Primeiro, vamos identificar a direção de propagação da onda. A forma do campo magnético é , que sugere uma dependência exponencial negativa com . Em ondas eletromagnéticas, a parte exponencial indica propagação na direção positiva de se o sinal for negativo no expoente. Portanto, a onda está se propagando na direção positiva de .

Passo 3

Para encontrar o período de tempo ( T = 1f ), usamos a relação entre frequência ( T = 175 times 10^6 = 1.333 times 10^-8 , segundos ) e período:
Dado que , então:

Passo 4

Agora, para encontrar o comprimento de onda ( lambda = vf ), usamos a relação entre velocidade de fase ( v = 1raizepsilon mu ), frequência e comprimento de onda:
k = omegav
Mas primeiro precisamos encontrar a velocidade de fase. Sabemos que a velocidade de fase está relacionada à permissividade ( omega = 2pi times 75 times 10^6 = 150pi times 10^6 , rad/s ) e permeabilidade ( v = omegak = 150pi times 10^6pi = 150 times 10^6 , m/s ) do meio:
lambda = vf = 150 times 10^675 times 10^6 = 2 , metros
Como o meio é não magnético, , onde .
No entanto, sem a permissividade, precisamos usar a relação do número de onda ( ) com e :
Dado que é o número de onda no expoente , temos . A frequência angular é :
Portanto:
Então, o comprimento de onda é:

Passo 5

Com a velocidade de fase v = 1raizepsilonr epsilon0 mu0 e sabendo que epsilonr = ( 1v raizepsilon0 mu0 )^2 , podemos encontrar a permissividade relativa ( epsilonr = ( cv )^2 = ( 3 times 10^8150 times 10^6 )^2 = ( 2 )^2 = 4 ).
Sabemos que , onde .
Então,
Rearranjando para encontrar :
Sabendo que , onde , então:

Passo 6

Agora, para encontrar a impedância intrínseca ( eta = raizmuepsilon ) do meio, usamos:
eta = raizmu0epsilonr epsilon0 = raizmu04 epsilon0 = 12 raizmu0epsilon0 = eta02
Substituindo eta = 3772 approx 188.5 , Omega e :
Onde . Assim:

Passo 7

b) Vetor intensidade do campo elétrico complexo e os vetores dos campos elétrico e magnético da onda.
Usamos a relação entre os campos elétrico ( E = eta , H times k ) e magnético ( E = eta , e^-j pi x z times x ) em uma onda plana:
z times x = -y
Onde E = -eta , e^-j pi x y é a direção de propagação da onda, que neste caso é E = -188.5 , e^-j pi x y , V/m .
Dado que , então:
Calculando o produto vetorial:
Portanto:
Substituindo :

Passo 8

c) Densidades de energia eletromagnética média no tempo e o vetor de Poynting complexo da onda.
A densidade de energia eletromagnética total ( u = uE + uH = 12 epsilon |E|^2 + 12 mu |H|^2 ) é a soma das densidades de energia do campo elétrico ( u = 12 epsilonr epsilon0 |E|^2 + 12 mu0 |H|^2 ) e do campo magnético ( |E|^2 = (188.5)^2 = 35542.25 , V^2/m^2 ):
|H|^2 = 1 , A^2/m^2
Como u = 12 times 4 times 8.854 times 10^-12 times 35542.25 + 12 times 4pi times 10^-7 times 1 e uE = 2 times 8.854 times 10^-12 times 35542.25 approx 6.299 times 10^-7 , J/m^3 :
uH = 2 times 4pi times 10^-7 times 1 approx 2.513 times 10^-6 , J/m^3
Substituindo u approx 6.299 times 10^-7 + 2.513 times 10^-6 approx 3.143 times 10^-6 , J/m^3 e S = E times H^* :
H^* = e^j pi x z
S = (-188.5 , e^-j pi x y) times (e^j pi x z) = -188.5 (y times z)
Então:
S = -188.5 x , W/m^2
Calculando os termos:
Portanto:
Para o vetor de Poynting complexo ( ), usamos:
Onde é o conjugado complexo de .
Dado e :
Então:
Sabendo que :

Resposta

A direção de propagação é ao longo do eixo positivo . O período de tempo é segundos, o comprimento de onda é metros, e a velocidade de fase da onda é m/s. A permissividade relativa do meio é e a impedância intrínseca é aproximadamente .
O vetor intensidade do campo elétrico complexo é . Os vetores dos campos elétrico e magnético da onda são e , respectivamente.
A densidade de energia eletromagnética média no tempo é aproximadamente e o vetor de Poynting complexo da onda é .

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