Escreva as equações paramétricas e cartesiana do plano determinado pelos pontos , e . Os pontos e pertencem a esse plano?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas e cartesiana do plano formado pelos pontos , e . Além disso, precisamos verificar se os pontos e estão nesse mesmo plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos.
Passo 2
Primeiro, para encontrar as equações do plano, precisamos determinar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos calcular os vetores e :
Esses vetores nos ajudam a entender a direção do plano.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores e . Para isso, faremos o produto vetorial entre e :
Podemos simplificar dividindo por 6:
Então, o vetor normal é .
Passo 4
Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos escrever a equação cartesiana do plano usando a fórmula:
Onde e . Expandindo:
Então, a equação cartesiana do plano é:
Podemos também simplificar multiplicando por -1:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as equações paramétricas do plano. Para isso, usamos o ponto e os vetores e . As equações paramétricas são dadas por:
Onde e são parâmetros. Aplicando nossos valores:
Então, as equações paramétricas do plano são:
Passo 6
Por fim, vamos verificar se os pontos e pertencem ao plano. Para isso, substituímos as coordenadas de cada ponto na equação cartesiana do plano e vemos se igualdade se sustenta.
Para o ponto :
A igualdade se confirma, então está no plano.
Para o ponto :
A igualdade não se sustenta, então não está no plano.
Resposta
As equações paramétricas do plano são:
A equação cartesianar do plano é:
Além disso, o ponto pertence ao plano, enquanto o ponto não pertence ao plano.