Escreva as equações paramétricas e cartesiana do plano determinado pelos pontos A(1,2,4), B(-1,2,0) e C(2,-1,0). Os pontos D(0,2,2) e E(0,0,1) pertencem a esse plano?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas e cartesiana do plano formado pelos pontos , e . Além disso, precisamos verificar se os pontos e estão nesse mesmo plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, para encontrar as equações do plano, precisamos determinar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos calcular os vetores AB = B - A = (-1 - 1, 2 - 2, 0 - 4) = (-2, 0, -4) e AC = C - A = (2 - 1, -1 - 2, 0 - 4) = (1, -3, -4) :
Esses vetores nos ajudam a entender a direção do plano.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores n = AB times AC = i & j & k -2 & 0 & -4 1 & -3 & -4 e n = i(0 cdot (-4) - (-4) cdot (-3)) - j((-2) cdot (-4) - (-4) cdot 1) + k((-2) cdot (-3) - 0 cdot 1) . Para isso, faremos o produto vetorial entre n = i(0 - 12) - j(8 - (-4)) + k(6 - 0) e n = -12i - 12j + 6k :
n = -2i - 2j + k
Podemos simplificar dividindo por 6:
Então, o vetor normal é .

Passo 4

Com o vetor normal n cdot ( r - r0 ) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto -2(x - 1) -2(y - 2) + 1(z - 4) = 0 , podemos escrever a equação cartesiana do plano usando a fórmula:
-2x + 2 -2y + 4 + z - 4 = 0
Onde -2x -2y + z + 2 = 0 e -2x - 2y + z + 2 = 0 . Expandindo:
2x + 2y - z - 2 = 0
Então, a equação cartesiana do plano é:
Podemos também simplificar multiplicando por -1:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas do plano. Para isso, usamos o ponto x = x0 + a t + b s e os vetores y = y0 + c t + d s e z = z0 + e t + f s . As equações paramétricas são dadas por:
x = 1 -2t + 1s
y = 2 + 0t -3s
z = 4 -4t -4s
Onde x = 1 - 2t + s y = 2 - 3s z = 4 - 4t - 4s e são parâmetros. Aplicando nossos valores:
Então, as equações paramétricas do plano são:

Passo 6

Por fim, vamos verificar se os pontos 2(0) + 2(2) - 2 - 2 = 0 + 4 - 2 -2 = 0 e 2(0) + 2(0) -1 -2 = 0 + 0 -1 -2 = -3 neq 0 pertencem ao plano. Para isso, substituímos as coordenadas de cada ponto na equação cartesiana do plano e vemos se igualdade se sustenta.
Para o ponto :
A igualdade se confirma, então está no plano.
Para o ponto :
A igualdade não se sustenta, então não está no plano.

Resposta

As equações paramétricas do plano são:
x = 1 - 2t + s y = 2 - 3s z = 4 - 4t - 4s
A equação cartesianar do plano é:
2x + 2y - z - 2 = 0
Além disso, o ponto pertence ao plano, enquanto o ponto não pertence ao plano.

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