Escreva as equações paramétricas e cartesiana do plano determinado pelos pontos , e . Os pontos e pertencem a esse plano?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas e cartesiana do plano formado pelos pontos , e . Além disso, precisamos verificar se os pontos e estão nesse mesmo plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, para encontrar as equações do plano, precisamos determinar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos calcular os vetores e :
Esses vetores nos ajudam a entender a direção do plano.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores e . Para isso, faremos o produto vetorial entre e :
Podemos simplificar dividindo por 6:
Então, o vetor normal é .

Passo 4

Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos escrever a equação cartesiana do plano usando a fórmula:
Onde e . Expandindo:
Então, a equação cartesiana do plano é:
Podemos também simplificar multiplicando por -1:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas do plano. Para isso, usamos o ponto e os vetores e . As equações paramétricas são dadas por:
Onde e são parâmetros. Aplicando nossos valores:
Então, as equações paramétricas do plano são:

Passo 6

Por fim, vamos verificar se os pontos e pertencem ao plano. Para isso, substituímos as coordenadas de cada ponto na equação cartesiana do plano e vemos se igualdade se sustenta.
Para o ponto :
A igualdade se confirma, então está no plano.
Para o ponto :
A igualdade não se sustenta, então não está no plano.

Resposta

As equações paramétricas do plano são:
A equação cartesianar do plano é:
Além disso, o ponto pertence ao plano, enquanto o ponto não pertence ao plano.

Exercícios relacionados

Sejam e vetores.
(a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular a e a ;
(b) Determine um vetor simultaneamente perpendicular a e a com norma igual a 5.
Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial dado.
(b) e .
Determine a equação geral do plano que contém as seguintes retas:
(a) e
(b) e
Sabendo que as retas abaixo são reversas, calcule a distância entre elas: