Sejam u=(-1,2,3) e v=(1,-2,1) vetores.
(a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular a u e a v;
(b) Determine um vetor simultaneamente perpendicular a u e a v com norma igual a 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar vetores que sejam perpendiculares aos vetores e . O assunto aqui é vetores no espaço tridimensional, e vamos usar o produto vetorial para achar esses vetores. No item (a), queremos um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1) que seja perpendicular a ambos os vetores dados. No item (b), queremos um vetor com comprimento 5 que também seja perpendicular a e .

Passo 2

Primeiro, para encontrar um vetor que seja perpendicular a u times v = ( uy vz - uz vy, , uz vx - ux vz, , ux vy - uy vx ) e , usamos o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u = (-1, 2, 3) v = (1, -2, 1) usando os componentes de uy vz - uz vy = 2 times 1 - 3 times (-2) = 2 + 6 = 8 uz vx - ux vz = 3 times 1 - (-1) times 1 = 3 + 1 = 4 ux vy - uy vx = (-1) times (-2) - 2 times 1 = 2 - 2 = 0 e u times v = (8, 4, 0) :
Calculando cada componente:
Então,

Passo 4

Agora temos um vetor |w| = raizwx^2 + wy^2 + wz^2 que é perpendicular a |w| = raiz8^2 + 4^2 + 0^2 = raiz64 + 16 + 0 = raiz80 = 4raiz5 e . Para o item (a), precisamos que esse vetor seja unitário, ou seja, que tenha norma igual a 1. A norma de um vetor é dada por:
Vamos calcular a norma de :

Passo 5

Para tornar o vetor unitário, dividimos cada componente de wunitário = ( 84raiz5, 44raiz5, 04raiz5 ) = ( 2raiz5, 1raiz5, 0 ) pela sua norma:
á

Passo 6

Já resolvemos o item (a). Agora, para o item (b), queremos um vetor perpendicular a wunitário = ( 2raiz5, 1raiz5, 0 ) e com norma igual a 5. Podemos usar o vetor que já é perpendicular e calcular um vetor na mesma direção, mas com comprimento 5.
Primeiro, encontramos a unidade do vetor como fizemos no item (a):
á

Passo 7

Para ajustar a norma para 5, multiplicamos o vetor unitário por 5:
w5 = 5 times wunitário = ( 5 times 2raiz5, , 5 times 1raiz5, , 5 times 0 ) = ( 10raiz5, 5raiz5, 0 ) á
Podemos racionalizar os denominadores:
w5 = ( 10raiz55, 5raiz55, 0 ) = ( 2raiz5, raiz5, 0 )

Resposta

(a) Um vetor unitário perpendicular a e é .
(b) Um vetor perpendicular a e com norma igual a 5 é .

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