Sejam e vetores.
(a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular a e a ;
(b) Determine um vetor simultaneamente perpendicular a e a com norma igual a 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar vetores que sejam perpendiculares aos vetores e . O assunto aqui é vetores no espaço tridimensional, e vamos usar o produto vetorial para achar esses vetores. No item (a), queremos um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1) que seja perpendicular a ambos os vetores dados. No item (b), queremos um vetor com comprimento 5 que também seja perpendicular a e .

Passo 2

Primeiro, para encontrar um vetor que seja perpendicular a e , usamos o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial usando os componentes de e :
Calculando cada componente:
Então,

Passo 4

Agora temos um vetor que é perpendicular a e . Para o item (a), precisamos que esse vetor seja unitário, ou seja, que tenha norma igual a 1. A norma de um vetor é dada por:
Vamos calcular a norma de :

Passo 5

Para tornar o vetor unitário, dividimos cada componente de pela sua norma:
á

Passo 6

Já resolvemos o item (a). Agora, para o item (b), queremos um vetor perpendicular a e com norma igual a 5. Podemos usar o vetor que já é perpendicular e calcular um vetor na mesma direção, mas com comprimento 5.
Primeiro, encontramos a unidade do vetor como fizemos no item (a):
á

Passo 7

Para ajustar a norma para 5, multiplicamos o vetor unitário por 5:
á
Podemos racionalizar os denominadores:

Resposta

(a) Um vetor unitário perpendicular a e é .
(b) Um vetor perpendicular a e com norma igual a 5 é .

Exercícios relacionados

Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial dado.
(b) e .
Determine o ponto de interseção das retas e , definidas pelas seguintes equações: s:
Escreva as equações paramétricas e cartesiana do plano determinado pelos pontos , e . Os pontos e pertencem a esse plano?
Determine a equação geral do plano que contém as seguintes retas:
(a) e
(b) e