Sejam e vetores.
(a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular a e a ;
(b) Determine um vetor simultaneamente perpendicular a e a com norma igual a 5.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar vetores que sejam perpendiculares aos vetores e . O assunto aqui é vetores no espaço tridimensional, e vamos usar o produto vetorial para achar esses vetores. No item (a), queremos um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1) que seja perpendicular a ambos os vetores dados. No item (b), queremos um vetor com comprimento 5 que também seja perpendicular a e .
Passo 2
Primeiro, para encontrar um vetor que seja perpendicular a e , usamos o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial usando os componentes de e :
Calculando cada componente:
Então,
Passo 4
Agora temos um vetor que é perpendicular a e . Para o item (a), precisamos que esse vetor seja unitário, ou seja, que tenha norma igual a 1. A norma de um vetor é dada por:
Vamos calcular a norma de :
Passo 5
Para tornar o vetor unitário, dividimos cada componente de pela sua norma:
Passo 6
Já resolvemos o item (a). Agora, para o item (b), queremos um vetor perpendicular a e com norma igual a 5. Podemos usar o vetor que já é perpendicular e calcular um vetor na mesma direção, mas com comprimento 5.
Primeiro, encontramos a unidade do vetor como fizemos no item (a):
Passo 7
Para ajustar a norma para 5, multiplicamos o vetor unitário por 5:
Podemos racionalizar os denominadores:
Resposta
(a) Um vetor unitário perpendicular a e é .
(b) Um vetor perpendicular a e com norma igual a 5 é .