Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V dado.
(b) V=Pn(R) e W=p in Pn(R): p(0)=p(1).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até com coeficientes reais. Queremos verificar se o subconjunto é de fato um subespaço desse espaço vetorial.
Para saber se é um subespaço, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço:
  1. O zero vetor (no caso, o polinômio zero) está em .
  2. Se e estão em , então também está em (fechamento pela adição).
  3. Se está em e é um escalar, então está em (fechamento pela multiplicação por escalar).
Vamos verificar cada um desses pontos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o polinômio zero está em p(0) = 0 e p(1) = 0 . O polinômio zero é aquele onde todos os coeficientes são zero, ou seja, para todo .
Calculando:
Então, , o que satisfaz a condição para estar em . Portanto, o zero vetor está em .

Passo 3

Agora, vamos checar se p(0) = p(1) e q(0) = q(1) é fechado pela adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios (p + q)(0) = p(0) + q(0) = p(1) + q(1) = (p + q)(1) e que estão em , a soma também deve estar em .
Sabemos que:
Vamos somar os dois polinômios:
Assim, também satisfaz , ou seja, está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se p(0) = p(1) é fechado pela multiplicação por escalar. Se pegarmos um polinômio (c cdot p)(0) = c cdot p(0) = c cdot p(1) = (c cdot p)(1) em e um escalar , o polinômio também deve estar em .
Sabemos que:
Multiplicando por :
Portanto, também satisfaz , ou seja, está em .

Resposta

Como satisfaz todas as condições necessárias (contém o zero vetor, é fechado pela adição e pela multiplicação por escalar), podemos concluir que é, de fato, um subespaço do espaço vetorial .

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