Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
dado.
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau até
com coeficientes reais. Queremos verificar se o subconjunto
é de fato um subespaço desse espaço vetorial.
Para saber se
é um subespaço, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço:
- O zero vetor (no caso, o polinômio zero) está em
. - Se
e estão em , então também está em (fechamento pela adição). - Se
está em e é um escalar, então está em (fechamento pela multiplicação por escalar).
Vamos verificar cada um desses pontos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o polinômio zero está em
. O polinômio zero é aquele onde todos os coeficientes são zero, ou seja,
para todo
.
Calculando:
Então,
, o que satisfaz a condição para estar em
. Portanto, o zero vetor está em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado pela adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios
e
que estão em
, a soma
também deve estar em
.
Sabemos que:
Vamos somar os dois polinômios:
Assim,
também satisfaz
, ou seja,
está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado pela multiplicação por escalar. Se pegarmos um polinômio
em
e um escalar
, o polinômio
também deve estar em
.
Sabemos que:
Multiplicando por
:
Portanto,
também satisfaz
, ou seja,
está em
.
Resposta
Como
satisfaz todas as condições necessárias (contém o zero vetor, é fechado pela adição e pela multiplicação por escalar), podemos concluir que
é, de fato, um subespaço do espaço vetorial
.
Exercícios relacionados
Determine o ponto de interseção das retas
e
, definidas pelas seguintes equações:
s:
Considere
é função
, munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(f) é um espaço vetorial complexo?
(f)
Sejam
e
vetores.
(a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular a e a
;
(b) Determine um vetor simultaneamente perpendicular a e a
com norma igual a 5.
(a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular a
(b) Determine um vetor simultaneamente perpendicular a
Escreva as equações paramétricas e cartesiana do plano determinado pelos pontos
,
e
. Os pontos
e
pertencem a esse plano?