Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(i) A elipse de equação
.
(i) A elipse de equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrevermos equações paramétricas para uma elipse, que é dada pela equação padrão
. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre equações de curvas conicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a equação geral da elipse em uma forma paramétrica, que nos permite descrever as coordenadas
e
em função de um parâmetro, geralmente o ângulo
.
Passo 2
Primeiro, lembrando que uma equação paramétrica descreve
e
em termos de um terceiro parâmetro, que pode ser pensado como um ângulo que varia ao longo da curva. Para a elipse
, podemos usar o parâmetro
para representar a posição ao longo da elipse.
Passo 3
Vamos definir
e
usando funções trigonométricas, que naturalmente lidam com ângulos e ciclos, facilitando a descrição da elipse. A ideia é adaptar as funções seno e cosseno para ajustar as escalas nos eixos
e
.
Passo 4
Então, as equações paramétricas ficam assim:
Aqui,
e
são os semi-eixos da elipse, e
varia de
a
para traçar a elipse completa.
Passo 5
Quanto à orientação, como usamos
para
e
para
, a elipse está orientada de forma que o semi-eixo maior está no eixo
se
, ou no eixo
se
. A direção é dada pelo aumento de
de
a
, que corresponde a um movimento anti-horário ao redor da elipse.
Resposta
As equações paramétricas para a elipse
são:
com
variando de
a
. A orientação é anti-horária.