Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(i) A elipse de equação x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrevermos equações paramétricas para uma elipse, que é dada pela equação padrão . A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre equações de curvas conicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a equação geral da elipse em uma forma paramétrica, que nos permite descrever as coordenadas e em função de um parâmetro, geralmente o ângulo .

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma equação paramétrica descreve e em termos de um terceiro parâmetro, que pode ser pensado como um ângulo que varia ao longo da curva. Para a elipse , podemos usar o parâmetro para representar a posição ao longo da elipse.

Passo 3

Vamos definir e usando funções trigonométricas, que naturalmente lidam com ângulos e ciclos, facilitando a descrição da elipse. A ideia é adaptar as funções seno e cosseno para ajustar as escalas nos eixos e .

Passo 4

Então, as equações paramétricas ficam assim:
Aqui, e são os semi-eixos da elipse, e varia de a para traçar a elipse completa.

Passo 5

Quanto à orientação, como usamos para e para , a elipse está orientada de forma que o semi-eixo maior está no eixo se , ou no eixo se . A direção é dada pelo aumento de de a , que corresponde a um movimento anti-horário ao redor da elipse.

Resposta

As equações paramétricas para a elipse são:
com variando de a . A orientação é anti-horária.

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