A série sumn=1^infty(-1)^n+1 log (1+1n) é convergente? É absolutamente convergente?

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita da forma sumn=1^infty (-1)^n+1 log (1+1n). A pergunta é: essa série converge? E ela converge de maneira absoluta? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries alternadas e convergência absoluta, além de algumas propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a convergência da série. Como a série tem termos que alternam sinais devido a (-1)^n+1, podemos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos bn = log (1+1n) forem positivos, decrescentes e tendirem a zero quando n vai para o infinito, então a série converge.

Passo 3

Vamos verificar essas condições:
  1. Positividade: Para todo n >= 1, 1n > 0, então 1 + 1n > 1, e como o logaritmo de um número maior que 1 é positivo, bn > 0.
  2. Decrescimento: À medida que n aumenta, 1n diminui, então 1 + 1n diminui, e consequentemente, log (1+1n) também diminui.
  3. Tendência a zero: Calculando o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty log (1+1n) = log(1+0) = log(1) = 0
Portanto, todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a série converge absolutamente, ou seja, se a série dos valores absolutos sumn=1^infty | (-1)^n+1 log (1+1n) | = sumn=1^infty log (1+1n) converge.

Passo 5

Para isso, podemos comparar a série com uma série conhecida. Sabemos que:
log (1+1n) approx 1n para grandes n
E a série sumn=1^infty 1n é a Série Harmônica, que é divergente. Portanto, pela Comparação com a Série Harmônica, a série dos valores absolutos também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+1 log (1+1n) é convergente, mas não é absolutamente convergente.

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