A série é convergente? É absolutamente convergente?
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita da forma . A pergunta é: essa série converge? E ela converge de maneira absoluta? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries alternadas e convergência absoluta, além de algumas propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a convergência da série. Como a série tem termos que alternam sinais devido a , podemos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos forem positivos, decrescentes e tendirem a zero quando vai para o infinito, então a série converge.
Passo 3
Vamos verificar essas condições:
Positividade: Para todo , , então , e como o logaritmo de um número maior que 1 é positivo, .
Decrescimento: À medida que aumenta, diminui, então diminui, e consequentemente, também diminui.
Tendência a zero: Calculando o limite quando tende ao infinito:
Portanto, todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a série converge absolutamente, ou seja, se a série dos valores absolutos converge.
Passo 5
Para isso, podemos comparar a série com uma série conhecida. Sabemos que:
log (1+1n) approx 1n para grandes n
E a série sumn=1^infty 1n é a Série Harmônica, que é divergente. Portanto, pela Comparação com a Série Harmônica, a série dos valores absolutos também diverge.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n+1 log (1+1n)é convergente, mas não é absolutamente convergente.