Escreva equações paramétricas da reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever as equações paramétricas de uma reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano dado pela equação paramétrica:
pi: l x = 1 - alpha - beta y = alpha + beta z = alpha
Vamos precisar entender sobre retas e planos no espaço tridimensional e como encontrar vetores normais a um plano para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar um vetor normal ao plano . Um vetor normal é um vetor que é perpendicular ao plano. Para isso, vamos identificar dois vetores diretores do plano a partir das equações paramétricas.
Passo 3
Observando as equações paramétricas do plano: x = 1 - alpha - beta y = alpha + beta z = alpha
Podemos reescrever isso em termos de vetores:
[ x y z = 1 0 0 + alpha -1 1 1 + beta -1 1 0
\alpha
\beta
]
Então, os vetores diretores do plano são e .
Passo 4
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores diretores:
n = u times v
O produto vetorial de n = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1) e n = (1 cdot 0 - 1 cdot 1, 1 cdot (-1) - (-1) cdot 0, (-1) cdot 1 - 1 cdot (-1)) = (-1, -1, 0) é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 5
A reta que queremos é perpendicular ao plano , então ela deve ter a direção do vetor normal . Além disso, essa reta passa pela origem .
Passo 6
Finalmente, para escrever as equações paramétricas da reta, usamos a forma:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Onde x = 0 - t y = 0 - t z = 0 + 0t é um ponto na reta e x = -t y = -t z = 0 é o vetor diretor. Como a reta passa pela origem e tem direção , temos: