Escreva as equações paramétricas das seguintes circunferências e determine o centro e o raio de cada uma: x^2+y^2+2 x+6 y+10-raiz2=0.

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é uma equação de uma circunferência: . Nosso objetivo é escrever as equações paramétricas dessa circunferência e encontrar o centro e o raio dela. Para isso, vamos precisar lembrar como completar o quadrado e a forma padrão da equação de uma circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para identificar os termos de x^2 + 2x + y^2 + 6y = -10 + raiz2 e . Temos:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de .

Passo 3

Para completar o quadrado do (22)^2 = 1 , pegamos o coeficiente de (62)^2 = 9 , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Fazemos o mesmo para o . O coeficiente de é 6:

Passo 4

Agora, adicionamos e subtraímos esses valores na equação:
x^2 + 2x + 1 - 1 + y^2 + 6y + 9 - 9 = -10 + raiz2
Isso simplifica para:
(x + 1)^2 + (y + 3)^2 = -10 + raiz2 + 1 + 9

Passo 5

Vamos simplificar o lado direito da equação:
-10 + raiz2 + 1 + 9 = raiz2
Então, a equação fica:
(x + 1)^2 + (y + 3)^2 = raiz2

Passo 6

Agora, identificamos o centro e o raio da circunferência. A forma padrão é .
Comparando com nossa equação, temos:
  • Centro:
  • Raio:

Passo 7

Por fim, vamos escrever as equações paramétricas da circunferência. As equações paramétricas são:
x = a + r cos(t)
y = b + r sin(t)
Substituindo x = -1 + 2^1/4 cos(t) , y = -3 + 2^1/4 sin(t) e :

Resposta

As equações paramétricas da circunferência são:
x = -1 + 2^1/4 cos(t)
y = -3 + 2^1/4 sin(t)
O centro da circunferência é e o raio é .

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