Pode haver uma transformação linear sobrejetora e não-injetora S: P3(R) M2 times 2(R) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se existe uma transformação linear S: P3(R) M2 times 2(R) que seja sobrejetora (ou seja, alcance todo o espaço de matrizes 2 times 2) e ao mesmo tempo não seja injetora (ou seja, que tenha pelo menos dois elementos diferentes em P3(R) que mapeiam para a mesma matriz). Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, especialmente relacionados à dimensão dos espaços envolvidos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que P3(R) é o espaço das polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. A dimensão desse espaço é 4, porque qualquer polinômio pode ser escrito como a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3, onde temos 4 coeficientes independentes.
M2 times 2(R) é o espaço de todas as matrizes 2 times 2 com entradas reais. A dimensão desse espaço também é 4, já que cada matriz tem 4 entradas independentes.

Passo 3

Agora, temos uma transformação linear entre dois espaços de mesmo dimensão (4). Um conceito importante aqui é que, para transformações lineares entre espaços vetoriais de mesma dimensão, a transformação é injetora se e somente se for sobrejetora. Isso significa que se uma transformação linear consegue atingir todo o espaço de chegada, ela não pode ter “sobreposições” no mapeamento dos elementos do espaço de partida.

Passo 4

Aplicando esse conceito ao nosso caso: se S for sobrejetora, então, de acordo com o que discutimos, ela também deve ser injetora. Ou seja, não pode existir uma transformação linear que seja sobrejetora e, ao mesmo tempo, não injetora entre esses dois espaços de dimensão igual.

Resposta

Não, não pode existir uma transformação linear sobrejetora e não-injetora de P3(R) para M2 times 2(R).

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