Utilizando os subespaços A, B e C, com as seguintes bases, respectivamente,
SA=[l 1 0 1 ] ;[c -1 0 0 ] ;[l 1 1 1 ] SB=[c 1 2 -1 ] ;[c 1 -1 1 ] ;[l 0 0 1 ] SC[l 1 2 3 ] ;[l 0 1 0 ] ;[l 2 1 1 ]
e a transformação linear dada por L(lx y z)=[c2 x-y 2 z+y 2 y-x+z] :
Encontre o vetor de coordenadas v=[lll-1 & -2 & 1]^T em relação a cada uma das bases. Observe que o vetor v está na base canônica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar as coordenadas do vetor v = -1 -2 1 em relação a três diferentes bases: SA, SB e SC. Isso faz parte do conteúdo de mudança de base na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar um vetor como combinação linear dos vetores das bases fornecidas. Em cada caso, vamos montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes que multiplicam os vetores das bases que nos dão o vetor v.

Passo 2

Vamos começar encontrando as coordenadas de v na base SA. A base SA é composta pelos vetores:
SA = 1 0 1 , -1 0 0 , 1 1 1
Queremos encontrar escalares c1, c2, e c3 tais que:
v = c1 1 0 1 + c2 -1 0 0 + c3 1 1 1
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
c1 - c2 + c3 = -1 0 + 0 + c3 = -2 c1 + 0 + c3 = 1
Vamos resolver esse sistema:
  1. Da segunda equação, já sabemos que c3 = -2.
  2. Substituindo c3 na terceira equação: c1 - 2 = 1 Rightarrow c1 = 3.
  3. Substituindo c1 e c3 na primeira equação: 3 - c2 - 2 = -1 Rightarrow 1 - c2 = -1 Rightarrow c2 = 2.
Então, as coordenadas de v na base SA são:
[v]SA = 3 2 -2

Passo 3

Agora vamos encontrar as coordenadas de v na base SB. A base SB é composta pelos vetores:
SB = 1 2 -1 , 1 -1 1 , 0 0 1
Queremos encontrar escalares d1, d2, e d3 tais que:
v = d1 1 2 -1 + d2 1 -1 1 + d3 0 0 1
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
d1 + d2 = -1 2d1 - d2 = -2 - d1 + d2 + d3 = 1
Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação: d2 = -1 - d1.
  2. Substituindo d2 na segunda equação: 2d1 - (-1 - d1) = -2 2d1 + 1 + d1 = -2 3d1 = -3 Rightarrow d1 = -1
  3. Substituindo d1 = -1 na primeira equação: d2 = -1 - (-1) = 0.
  4. Substituindo d1 = -1 e d2 = 0 na terceira equação: -(-1) + 0 + d3 = 1 Rightarrow 1 + d3 = 1 Rightarrow d3 = 0
Então, as coordenadas de v na base SB são:
[v]SB = -1 0 0

Passo 4

Por último, vamos encontrar as coordenadas de v na base SC. A base SC é composta pelos vetores:
SC = 1 2 3 , 0 1 0 , 2 1 1
Queremos encontrar escalares e1, e2, e e3 tais que:
v = e1 1 2 3 + e2 0 1 0 + e3 2 1 1
Isso gera o seguinte sistema de equações:
e1 + 0e2 + 2e3 = -1 2e1 + e2 + e3 = -2 3e1 + 0e2 + e3 = 1
Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação: e1 + 2e3 = -1 Rightarrow e1 = -1 - 2e3.
  2. Substituindo e1 na terceira equação: 3(-1 - 2e3) + e3 = 1 -3 - 6e3 + e3 = 1 -3 - 5e3 = 1 -5e3 = 4 Rightarrow e3 = -45
  3. Substituindo e3 = -45 na expressão de e1: e1 = -1 - 2(-45) = -1 + 85 = 35
  4. Substituindo e1 = 35 e e3 = -45 na segunda equação: 2(35) + e2 - 45 = -2 65 - 45 + e2 = -2 25 + e2 = -2 e2 = -2 - 25 = -125
Então, as coordenadas de v na base SC são:
[v]SC = 35 -125 -45

Resposta

As coordenadas do vetor v = -1 -2 1 nas diferentes bases são:
  • Na base SA:
    [v]SA = 3 2 -2
  • Na base SB:
    [v]SB = -1 0 0
  • Na base SC:
    [v]SC = 35 -125 -45

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