Beleza, vamos resolver essa equação diferencial homogênea que é do tipo:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais homogêneas, que são aquelas onde todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos como uma função de . Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar a substituição , que simplifica a equação tornando-a mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra do produto, temos:
Passo 3
Vamos substituir e na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 4
Vamos combinar os termos que contêm :
Agora, vamos dividir toda a equação por para simplificar:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar os termos com e :
Isso nos dá uma equação separável, onde podemos separar as variáveis e .
Passo 6
Vamos dividir ambos os lados por :
Agora, podemos integrar ambos os lados.
Passo 7
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Primeiro, simplificamos o denominador:
Mas para facilitar a integração, podemos reescrever a fração:
Agora, fazemos a substituição , então , mas isso complica, então vamos usar frações parciais.
A expressão pode ser escrita como:
A primeira parte se integra facilmente:
E a segunda parte exige completar o quadrado:
Portanto,
Juntando tudo:
2vv^2 -2v -1 dv = ln|v^2 -2v -1| + raiz2 ln|v -1 - raiz2v -1 + raiz2| + C