Resolva a equação homogênea:
(x^2-y^2) d x+(2 x y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial homogênea que é do tipo:
(x^2-y^2) dx + 2xy , dy = 0
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais homogêneas, que são aquelas onde todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos y como uma função de x. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar a substituição v = yx, que simplifica a equação tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição v = yx. Isso significa que y = v x. Agora, precisamos encontrar a derivada de y em relação a x. Usando a regra do produto, temos:
dy = v , dx + x , dv

Passo 3

Vamos substituir y e dy na equação original:
(x^2 - (v x)^2) dx + 2x (v x) (v , dx + x , dv) = 0
Simplificando os termos:
(x^2 - v^2 x^2) dx + 2v x^2 , dx + 2v x^3 , dv = 0
x^2(1 - v^2) , dx + 2v x^2 , dx + 2v x^3 , dv = 0

Passo 4

Vamos combinar os termos que contêm dx:
x^2(1 - v^2 + 2v) , dx + 2v x^3 , dv = 0
Agora, vamos dividir toda a equação por x^3 para simplificar:
1 - v^2 + 2vx , dx + 2v , dv = 0

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar os termos com dx e dv:
1 - v^2 + 2vx , dx = -2v , dv
Isso nos dá uma equação separável, onde podemos separar as variáveis x e v.

Passo 6

Vamos dividir ambos os lados por (1 - v^2 + 2v):
dxx = -2v1 - v^2 + 2v , dv
Agora, podemos integrar ambos os lados.

Passo 7

Integrando o lado esquerdo:
integral dxx = ln|x| + C1
Integrando o lado direito:
Primeiro, simplificamos o denominador:
1 - v^2 + 2v = -(v^2 - 2v -1) = -(v^2 - 2v +1 -2) = -(v-1)^2 +2
Mas para facilitar a integração, podemos reescrever a fração:
-2v1 - v^2 + 2v = -2v-(v^2 -2v -1) = 2vv^2 -2v -1
Agora, fazemos a substituição u = v^2 -2v -1, então du = (2v - 2) dv, mas isso complica, então vamos usar frações parciais.
A expressão 2vv^2 -2v -1 pode ser escrita como:
2vv^2 -2v -1 = 2v -2 +2v^2 -2v -1 = 2(v -1)v^2 -2v -1 + 2v^2 -2v -1
A primeira parte se integra facilmente:
integral 2(v -1)v^2 -2v -1 dv = ln|v^2 -2v -1| + C2
E a segunda parte exige completar o quadrado:
v^2 -2v -1 = (v -1)^2 -2
Portanto,
integral 2(v -1)^2 -2 dv = 2raiz2 ln|v -1 - raiz2v -1 + raiz2| + C3
Juntando tudo:
2vv^2 -2v -1 dv = ln|v^2 -2v -1| + raiz2 ln|v -1 - raiz2v -1 + raiz2| + C

Passo 8

Igualando as integrais:
ln|x| = ln|v^2 -2v -1| + raiz2 ln|v -1 - raiz2v -1 + raiz2| + C
Substituindo v = yx:
ln|x| = ln|(yx)^2 - 2(yx) -1| + raiz2 ln|yx -1 - raiz2yx -1 + raiz2| + C
Multiplicando ambos os lados por x e rearranjando, chegamos à solução geral implícita da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação é dada por:
ln|x| = ln|(yx)^2 - 2(yx) -1| + raiz2 ln|yx -1 - raiz2yx -1 + raiz2| + C
onde C é a constante de integração.

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