(a) Escreva a expressão para os deslocamentos transversais y(x, t) no caso de uma onda harmônica em uma corda com velocidade de 200 m / s para a esquerda, frequência de 5,0 Hz, intensidade de 0,20 mW e densidade da corda de 0,10 kg / m. (b) Qual é a tensão na corda?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta tem duas partes:
(a) Precisamos escrever a expressão para os deslocamentos transversais de uma onda harmônica numa corda com certas características dadas.
(b) Descobrir qual é a tensão na corda.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de ondas, como velocidade, frequência, intensidade, densidade da corda e tensão.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a). Queremos a expressão geral de uma onda harmônica. A forma padrão dessa onda é:
y(x, t) = A sin(kx pm omega t + phi)
Aqui:
  • y(x, t) = A sin(kx + omega t + phi) é a amplitude da onda.
  • é o número de onda.
  • é a frequência angular.
  • é a fase inicial.
  • O sinal depende da direção de propagação da onda.
Como a onda está se movendo para a esquerda, usamos o sinal positivo:

Passo 3

Vamos agora identificar cada uma das variáveis que precisamos calcular:
  1. Frequência Angular ( ): Relaciona-se com a frequência ( ) pela fórmula .
  2. Número de Onda ( ): Relaciona-se com a velocidade ( ) e a frequência pela fórmula .
  3. Amplitude ( ): Vamos encontrar usando a intensidade da onda ( ) e a densidade da corda ( ).
  4. Constante de fase ( ): Se não for fornecida, geralmente assumimos para simplificar.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas variáveis:
  1. Frequência Angular ( omega = 2pi f = 2pi times 5,0, Hz = 10pi, rad/s ):
    k = omegav = 10pi, rad/s200, m/s = pi20, m^-1
  2. Número de Onda ( ):

Passo 5

Agora, vamos encontrar a amplitude ( I = 12 mu omega^2 A^2 v ). Sabemos que a intensidade ( A = raiz2Imu omega^2 v ) de uma onda numa corda é dada por:
A = raiz2 times 0,20 times 10^-3, W0,10, kg/m times (10pi, rad/s)^2 times 200, m/s
Queremos isolar (10pi)^2 = 100pi^2 :
mu omega^2 v = 0,10 times 100pi^2 times 200 = 0,10 times 100 times 200 times pi^2 = 2000pi^2
Substituindo os valores:
A = raiz0,0004, W2000pi^2 = raiz0,00042000pi^2 = raiz0,00042000 times 9,8696 approx raiz0,000419739,2 approx raiz2,027 times 10^-8 approx 4,502 times 10^-4, m
Calculando passo a passo:
Então, .

Passo 6

Finalmente, juntando tudo na expressão da onda:
y(x, t) = 4,5 times 10^-4, m times sin(pi20x + 10pi t)

Resposta

(a) A expressão para os deslocamentos transversais é:
y(x, t) = 4,5 times 10^-4, m times sin(pi20x + 10pi t)
(b) A tensão na corda é:
T = mu v^2 = 0,10, kg/m times (200, m/s)^2 = 0,10 times 40000 = 4000, N

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