Uma fonte sonora de potência igual a 30 W emite som a uma frequência de 440 Hz. A 10 m da fonte, onde você está, qual é (a) a intensidade sonora e (b) a amplitude de deslocamento? Uma pessoa a 20 m da fonte, na continuação da linha reta que sai da fonte e passa por você, reclama que o som está muito forte. Você, querendo escutar o som com a mesma intensidade, encurta sua distância até a fonte para 2,0 m e diminui sua potência. © Qual é a nova potência? (d) Qual foi a redução do nível sonoro percebido pela pessoa?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fonte sonora com potência de 30 W que emite som a uma frequência de 440 Hz. Estamos a 10 metros dessa fonte e precisamos calcular:
a) A intensidade sonora nesse ponto.
b) A amplitude de deslocamento do som.
Depois, há uma situação onde uma pessoa a 20 metros acha o som muito forte. Queremos ajustar a distância para 2 metros e diminuir a potência para manter a mesma intensidade sonora. Precisamos descobrir:
c) Qual é a nova potência necessária.
d) Qual foi a redução do nível sonoro percebido pela pessoa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de intensidade sonora, relação entre potência e intensidade, e nível sonoro em decibéis.

Passo 2

Parte a: Calculando a intensidade sonora a 10 metros da fonte
Intensidade sonora ( I = P4pi r^2 ) é a quantidade de energia que passa por uma área por unidade de tempo. A fórmula para intensidade sonora em uma onda que se propaga de forma esférica é:
I = 30, W4pi (10, m)^2 = 304pi times 100 = 30400pi = 340pi approx 0,0239, W/m^2
Onde:
  • é a potência da fonte (30 W).
  • é a distância da fonte (10 m).
Vamos calcular:

Passo 3

Parte b: Calculando a amplitude de deslocamento ( I = 12 rho v omega^2 s^2 )
A amplitude de deslocamento está relacionada à intensidade sonora e à frequência. A fórmula que relaciona intensidade sonora, amplitude e frequência é:
omega = 2pi times 440 approx 2765,3, rad/s
Onde:
  • s = raiz2Irho v omega^2 é a densidade do ar ( s = raiz2 times 0,02391,21 times 343 times (2765,3)^2 ).
  • omega^2 = (2765,3)^2 approx 7,654 times 10^6, rad^2/s^2 é a velocidade do som no ar ( rho v omega^2 = 1,21 times 343 times 7,654 times 10^6 approx 3,166 times 10^9, kg/(m·s^3) ).
  • 2Irho v omega^2 = 2 times 0,02393,166 times 10^9 approx 1,509 times 10^-11, m^2 é a frequência angular ( s = raiz1,509 times 10^-11 approx 3,88 times 10^-6, m = 3,88, mum ), com .
  • é a amplitude de deslocamento que queremos encontrar.
Primeiro, calculamos :
Agora, rearranjamos a fórmula para encontrar :
Substituindo os valores:
Vamos calcular passo a passo:

Passo 4

Parte c: Calculando a nova potência necessária a 2 metros para manter a mesma intensidade sonora
Queremos manter a intensidade ( I = P'4pi r'^2 ) igual a 0,0239 W/m², mas a nova distância ( P' = I times 4pi r'^2 ) é 2 m. Usamos novamente a fórmula da intensidade:
P' = 0,0239, W/m^2 times 4pi times (2, m)^2 = 0,0239 times 4pi times 4 approx 0,0239 times 50,27 approx 1,20, W
Queremos isolar :
Substituindo os valores:

Passo 5

Parte d: Calculando a redução do nível sonoro percebido pela pessoa
O nível sonoro ( L = 10 log10 ( II0 ) ) em decibéis é dado por:
I20 = 304pi (20)^2 = 301600pi approx 0,00597, W/m^2
Onde I' = 1,204pi (2)^2 = 1,2016pi approx 0,0239, W/m^2 é a intensidade de referência.
Primeiro, calculamos o nível sonoro original a 20 m e o novo nível a 2 m.
No entanto, a pessoa originalmente estava a 20 m com a intensidade maior, e ao reduzir a distância para 2 m, ajustamos a potência para manter a intensidade igual.
Mas a questão pede a redução do nível sonoro percebido pela pessoa. Isso implica que originalmente, a intensidade a 20 m era maior, e ao mudar para 2 m com menor potência, o nível sonoro foi reduzido.
Vamos calcular a intensidade original a 20 m:
L20 = 10 log10 ( 0,005971 times 10^-12 ) approx 10 log10(5,97 times 10^9) approx 10 times 9,776 approx 97,76, dB
Novo nível com L' = 10 log10 ( 0,02391 times 10^-12 ) approx 10 log10(2,39 times 10^10) approx 10 times 10,38 approx 103,8, dB a 2 m:
De
Calculando os níveis sonoros:
A redução do nível sonoro é:

Resposta

a) A intensidade sonora a 10 m da fonte é aproximadamente .
b) A amplitude de deslocamento do som é cerca de .
c) A nova potência necessária é aproximadamente .
d) A redução do nível sonoro percebido pela pessoa foi de aproximadamente .

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