(a) Escreva a expressão para y como uma função de x e t para uma onda sinusoidal viajando ao longo de uma corda na direção x negativa com as seguintes características: A=8,00 cm,=lambda =80,0 cm, f=3,00 Hz e y (0,0)=0 (b) E se? Escreva a expressão para y como uma função de x e t para a onda na parte (a) assumindo que y(x, 0)=0 no ponto x=10,0 cm.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma onda sinusoidal que está viajando ao longo de uma corda na direção negativa do eixo . As características dadas são:
  • Amplitude
  • Comprimento de onda
  • Frequência
  • Condição inicial
Para resolver, vamos precisar usar a equação geral de uma onda sinusoidal e adaptar para as informações fornecidas.

Passo 2

A equação geral de uma onda sinusoidal viajando na direção positiva de y(x,t) = A sin( kx - omega t + phi ) é:
y(x,t) = A sin( kx + omega t + phi )
Aqui:
  • é a amplitude,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.
Como a onda está viajando na direção negativa de , a equação muda para:

Passo 3

Vamos calcular o número de onda k = 2pilambda e a frequência angular k = 2pi80,0 = pi40 , cm^-1 .
O número de onda omega = 2pi f é dado por:
omega = 2pi times 3,00 = 6pi , rad/s
Substituindo :
A frequência angular é:
Substituindo :

Passo 4

Agora, precisamos determinar a fase inicial 0 = 8,00 sin( pi40 times 0 + 6pi times 0 + phi ) . Sabemos que 0 = 8,00 sin(phi) . Vamos substituir e na equação da onda:
Isso simplifica para:
Para que isso seja verdade, , então ou . Vamos escolher para simplificar.

Passo 5

Agora, substituímos todos os valores na equação da onda:
y(x,t) = 8,00 sin( pi40x + 6pi t )
Essa é a expressão para como função de e para a onda descrita no item (a).

Passo 6

Para a parte (b), a condição inicial muda para 0 = 8,00 sin( pi40 times 10,0 + 6pi times 0 + phi ) no ponto 0 = 8,00 sin( pi4 + phi ) . Vamos substituir e na equação da onda:
Simplificando:
Para que isso seja zero, ou . Portanto, ou . Escolhemos .

Resposta

A expressão para y(x,t) = 8,00 sin( pi40x + 6pi t ) como função de y(x,t) = 8,00 sin( pi40x + 6pi t - pi4 ) e na parte (a) é:
E na parte (b), considerando a condição , a expressão é:

Exercícios relacionados