Duas ondas viajando em direções opostas produzem uma onda estacionária. As funções de onda individuais são
onde x e y são medidos em centímetros. (A) Encontre a amplitude do movimento harmônico simples do elemento do meio localizado em
. (B) Encontre as posições dos nós e antinodos se uma extremidade da corda estiver em
. © Qual é o valor máximo da posição no movimento harmônico simples de um elemento localizado em um antinodo?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas ondas que viajam em direções opostas e formam uma onda estacionária. As funções das ondas são:
Aqui, “x” e “y” são medidos em centímetros. O conteúdo que vamos usar envolve superposição de ondas, ondas estacionárias e propriedades de nós e antinodos. Vamos precisar aplicar fórmulas de ondas estacionárias e entender como elas se formam.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (A): encontrar a amplitude do movimento harmônico simples no ponto localizado em
. Para isso, vamos somar as duas ondas para obter a equação da onda estacionária.
A superposição de
e
é:
Passo 3
Vamos usar a identidade trigonométrica para somar as senos:
Aplicando isso às nossas ondas:
Passo 4
Simplificando os argumentos:
Então, a equação da onda estacionária fica:
Passo 5
A amplitude de uma onda estacionária é dada pelo coeficiente que multiplica o termo trigonométrico que depende de x. No nosso caso:
Vamos calcular isso para
:
Passo 6
Calculando o valor de
(certifique-se de que o ângulo está em radianos ou graus conforme o contexto; aqui assumiremos radianos):
Então:
Passo 7
Agora, vamos para a parte (B): encontrar as posições dos nós e antinodos, considerando que uma extremidade da corda está em
. Em ondas estacionárias, os nós ocorrem onde a amplitude é zero, e os antinodos onde a amplitude é máxima.
A condição para nós é:
onde
é um número inteiro.
Passo 8
Para antinodos, a amplitude é máxima, então:
onde
é um número inteiro.
Passo 9
Finalmente, para a parte ©: encontrar o valor máximo da posição no movimento harmônico simples de um elemento localizado em um antinodo. Nos antinodos, a amplitude é máxima, que já calculamos na parte (A) quando
:
Resposta
(A) A amplitude do movimento harmônico simples em
é aproximadamente
.
(B) As posições dos nós são e dos antinodos são
, onde
é um número inteiro, considerando a extremidade em
.
© O valor máximo da posição no movimento harmônico simples de um elemento localizado em um antinodo é .
(B) As posições dos nós são
© O valor máximo da posição no movimento harmônico simples de um elemento localizado em um antinodo é
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$$
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e
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e
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no ponto
.