Duas ondas viajando em direções opostas produzem uma onda estacionária. As funções de onda individuais são
& y1=(4.0 cm) sin (3.0 x-2.0 t) & y2=(4.0 cm) sin (3.0 x+2.0 t)
onde x e y são medidos em centímetros. (A) Encontre a amplitude do movimento harmônico simples do elemento do meio localizado em x=2,3 cm. (B) Encontre as posições dos nós e antinodos se uma extremidade da corda estiver em x=0. © Qual é o valor máximo da posição no movimento harmônico simples de um elemento localizado em um antinodo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas ondas que viajam em direções opostas e formam uma onda estacionária. As funções das ondas são:
& y1=(4.0 cm) sin (3.0 x-2.0 t) & y2=(4.0 cm) sin (3.0 x+2.0 t)
Aqui, “x” e “y” são medidos em centímetros. O conteúdo que vamos usar envolve superposição de ondas, ondas estacionárias e propriedades de nós e antinodos. Vamos precisar aplicar fórmulas de ondas estacionárias e entender como elas se formam.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (A): encontrar a amplitude do movimento harmônico simples no ponto localizado em x=2,3 cm. Para isso, vamos somar as duas ondas para obter a equação da onda estacionária.
A superposição de y1 e y2 é:
y = y1 + y2 = 4 sin(3x - 2t) + 4 sin(3x + 2t)

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica para somar as senos:
sin A + sin B = 2 sin(A+B2) cos(A-B2)
Aplicando isso às nossas ondas:
y = 2 times 4 sin((3x - 2t) + (3x + 2t)2) cos((3x - 2t) - (3x + 2t)2)

Passo 4

Simplificando os argumentos:
(3x - 2t) + (3x + 2t)2 = 6x2 = 3x (3x - 2t) - (3x + 2t)2 = -4t2 = -2t
Então, a equação da onda estacionária fica:
y = 8 sin(3x) cos(2t)

Passo 5

A amplitude de uma onda estacionária é dada pelo coeficiente que multiplica o termo trigonométrico que depende de x. No nosso caso:
Amplitude = 8 sin(3x)
Vamos calcular isso para x = 2,3 cm:
Amplitude = 8 sin(3 times 2,3) cm = 8 sin(6,9) cm

Passo 6

Calculando o valor de sin(6,9) (certifique-se de que o ângulo está em radianos ou graus conforme o contexto; aqui assumiremos radianos):
sin(6,9) approx 0,574
Então:
Amplitude approx 8 times 0,574 = 4,59 cm

Passo 7

Agora, vamos para a parte (B): encontrar as posições dos nós e antinodos, considerando que uma extremidade da corda está em x=0. Em ondas estacionárias, os nós ocorrem onde a amplitude é zero, e os antinodos onde a amplitude é máxima.
A condição para nós é:
sin(3x) = 0 3x = npi x = npi3
onde n é um número inteiro.

Passo 8

Para antinodos, a amplitude é máxima, então:
|sin(3x)| = 1 sin(3x) = pm1 3x = pi2 + npi x = pi6 + npi3
onde n é um número inteiro.

Passo 9

Finalmente, para a parte ©: encontrar o valor máximo da posição no movimento harmônico simples de um elemento localizado em um antinodo. Nos antinodos, a amplitude é máxima, que já calculamos na parte (A) quando sin(3x) = pm1:
Amplitudemáxima = 8 times 1 = 8 cm á

Resposta

(A) A amplitude do movimento harmônico simples em x=2,3 cm é aproximadamente 4,59 cm.
(B) As posições dos nós são x = npi3 e dos antinodos são x = pi6 + npi3, onde n é um número inteiro, considerando a extremidade em x=0.
© O valor máximo da posição no movimento harmônico simples de um elemento localizado em um antinodo é 8 cm.

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