Duas ondas viajando em direções opostas produzem uma onda estacionária. As funções de onda individuais são
onde x e y são medidos em centímetros. (A) Encontre a amplitude do movimento harmônico simples do elemento do meio localizado em . (B) Encontre as posições dos nós e antinodos se uma extremidade da corda estiver em . © Qual é o valor máximo da posição no movimento harmônico simples de um elemento localizado em um antinodo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas ondas que viajam em direções opostas e formam uma onda estacionária. As funções das ondas são:
Aqui, “x” e “y” são medidos em centímetros. O conteúdo que vamos usar envolve superposição de ondas, ondas estacionárias e propriedades de nós e antinodos. Vamos precisar aplicar fórmulas de ondas estacionárias e entender como elas se formam.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (A): encontrar a amplitude do movimento harmônico simples no ponto localizado em . Para isso, vamos somar as duas ondas para obter a equação da onda estacionária.
A superposição de e é:

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica para somar as senos:
Aplicando isso às nossas ondas:

Passo 4

Simplificando os argumentos:
Então, a equação da onda estacionária fica:

Passo 5

A amplitude de uma onda estacionária é dada pelo coeficiente que multiplica o termo trigonométrico que depende de x. No nosso caso:
Vamos calcular isso para :

Passo 6

Calculando o valor de (certifique-se de que o ângulo está em radianos ou graus conforme o contexto; aqui assumiremos radianos):
Então:

Passo 7

Agora, vamos para a parte (B): encontrar as posições dos nós e antinodos, considerando que uma extremidade da corda está em . Em ondas estacionárias, os nós ocorrem onde a amplitude é zero, e os antinodos onde a amplitude é máxima.
A condição para nós é:
onde é um número inteiro.

Passo 8

Para antinodos, a amplitude é máxima, então:
onde é um número inteiro.

Passo 9

Finalmente, para a parte ©: encontrar o valor máximo da posição no movimento harmônico simples de um elemento localizado em um antinodo. Nos antinodos, a amplitude é máxima, que já calculamos na parte (A) quando :
á

Resposta

(A) A amplitude do movimento harmônico simples em é aproximadamente .
(B) As posições dos nós são e dos antinodos são , onde é um número inteiro, considerando a extremidade em .
© O valor máximo da posição no movimento harmônico simples de um elemento localizado em um antinodo é .

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$$
y=(0.15 \mathrm{~m}) \sin (0.80 x-50 t)$$
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