Duas ondas que formam uma onda estacionária em uma longa cadeia são dadas pelas funções de onda
y1=A sin (k x-omega t+phi) and y2=A sin (k x+omega t)
Mostre (a) que a adição da constante de fase arbitrária phi altera somente a posição dos nós e, em particular, (b) que a distância entre os nós ainda é metade do comprimento de onda.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas ondas que, ao se combinarem, formam uma onda estacionária em uma longa cadeia. As funções das ondas são:
y1=A sin (k x-omega t+phi) e y2=A sin (k x+omega t)
Aqui, A é a amplitude, k é o número de onda, omega é a frequência angular, x é a posição, t é o tempo e phi é uma fase constante. Vamos precisar usar conceitos de superposição de ondas e ondas estacionárias para resolver as partes (a) e (b).

Passo 2

Primeiro, vamos somar as duas ondas para encontrar a expressão da onda resultante. Usaremos a fórmula de soma de senos:
sin A + sin B = 2 sin(A+B2) cos(A-B2)
Aplicando isso às nossas ondas:
y = y1 + y2 = A sin (k x - omega t + phi) + A sin (k x + omega t)
y = 2A sin((k x - omega t + phi) + (k x + omega t)2) cos((k x - omega t + phi) - (k x + omega t)2)
Simplificando:
y = 2A sin(kx + phi2) cos(omega t - phi2)

Passo 3

Agora, observamos a forma da onda resultante:
y = 2A sin(kx + phi2) cos(omega t - phi2)
Essa expressão representa uma onda estacionária, onde:
  • 2A sin(kx + phi2) é a amplitude da onda em função de x.
  • cos(omega t - phi2) é a oscilação temporal.
Os nós de uma onda estacionária são os pontos onde a amplitude é sempre zero. Para encontrar os nós, igualamos a parte que depende de x a zero:
sin(kx + phi2) = 0

Passo 4

Resolvendo a equação sin(kx + phi2) = 0, sabemos que o seno é zero para:
k x + phi2 = npi onde n in Z
Isolando x:
x = npi - phi2k
Como k = 2pilambda, onde lambda é o comprimento de onda, substituímos:
x = npi - phi22pilambda = lambda2(n - phi4pi)
Isso mostra que a posição dos nós depende da fase phi, ou seja, a fase phi desloca os nós ao longo da cadeia.

Passo 5

Para encontrar a distância entre os nós, consideramos dois nós consecutivos, com n e n+1:
xn+1 - xn = lambda2((n+1) - phi4pi) - lambda2(n - phi4pi)
Simplificando:
xn+1 - xn = lambda2(n + 1 - phi4pi - n + phi4pi) = lambda2
Isso mostra que, independentemente da fase phi, a distância entre dois nós consecutivos é sempre lambda2.

Resposta

(a) A constante de fase phi apenas desloca a posição dos nós ao longo da cadeia.
(b) A distância entre os nós permanece sendo metade do comprimento de onda, ou seja, lambda2.

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