Duas ondas que formam uma onda estacionária em uma longa cadeia são dadas pelas funções de onda
Mostre (a) que a adição da constante de fase arbitrária
altera somente a posição dos nós e, em particular, (b) que a distância entre os nós ainda é metade do comprimento de onda.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas ondas que, ao se combinarem, formam uma onda estacionária em uma longa cadeia. As funções das ondas são:
Aqui,
é a amplitude,
é o número de onda,
é a frequência angular,
é a posição,
é o tempo e
é uma fase constante. Vamos precisar usar conceitos de superposição de ondas e ondas estacionárias para resolver as partes (a) e (b).
Passo 2
Primeiro, vamos somar as duas ondas para encontrar a expressão da onda resultante. Usaremos a fórmula de soma de senos:
Aplicando isso às nossas ondas:
Simplificando:
Passo 3
Agora, observamos a forma da onda resultante:
Essa expressão representa uma onda estacionária, onde:
-
é a amplitude da onda em função de . -
é a oscilação temporal.
Os nós de uma onda estacionária são os pontos onde a amplitude é sempre zero. Para encontrar os nós, igualamos a parte que depende de
a zero:
Passo 4
Resolvendo a equação
, sabemos que o seno é zero para:
Isolando
:
Como
, onde
é o comprimento de onda, substituímos:
Isso mostra que a posição dos nós depende da fase
, ou seja, a fase
desloca os nós ao longo da cadeia.
Passo 5
Para encontrar a distância entre os nós, consideramos dois nós consecutivos, com
e
:
Simplificando:
Isso mostra que, independentemente da fase
, a distância entre dois nós consecutivos é sempre
.
Resposta
(a) A constante de fase
apenas desloca a posição dos nós ao longo da cadeia.
(b) A distância entre os nós permanece sendo metade do comprimento de onda, ou seja,
.