Duas ondas que formam uma onda estacionária em uma longa cadeia são dadas pelas funções de onda
Mostre (a) que a adição da constante de fase arbitrária altera somente a posição dos nós e, em particular, (b) que a distância entre os nós ainda é metade do comprimento de onda.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas ondas que, ao se combinarem, formam uma onda estacionária em uma longa cadeia. As funções das ondas são:
Aqui, é a amplitude, é o número de onda, é a frequência angular, é a posição, é o tempo e é uma fase constante. Vamos precisar usar conceitos de superposição de ondas e ondas estacionárias para resolver as partes (a) e (b).

Passo 2

Primeiro, vamos somar as duas ondas para encontrar a expressão da onda resultante. Usaremos a fórmula de soma de senos:
Aplicando isso às nossas ondas:
Simplificando:

Passo 3

Agora, observamos a forma da onda resultante:
Essa expressão representa uma onda estacionária, onde:
  • é a amplitude da onda em função de .
  • é a oscilação temporal.
Os nós de uma onda estacionária são os pontos onde a amplitude é sempre zero. Para encontrar os nós, igualamos a parte que depende de a zero:

Passo 4

Resolvendo a equação , sabemos que o seno é zero para:
Isolando :
Como , onde é o comprimento de onda, substituímos:
Isso mostra que a posição dos nós depende da fase , ou seja, a fase desloca os nós ao longo da cadeia.

Passo 5

Para encontrar a distância entre os nós, consideramos dois nós consecutivos, com e :
Simplificando:
Isso mostra que, independentemente da fase , a distância entre dois nós consecutivos é sempre .

Resposta

(a) A constante de fase apenas desloca a posição dos nós ao longo da cadeia.
(b) A distância entre os nós permanece sendo metade do comprimento de onda, ou seja, .

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$$
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