Duas ondas que formam uma onda estacionária em uma longa cadeia são dadas pelas funções de onda
Mostre (a) que a adição da constante de fase arbitrária
altera somente a posição dos nós e, em particular, (b) que a distância entre os nós ainda é metade do comprimento de onda.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas ondas que, ao se combinarem, formam uma onda estacionária em uma longa cadeia. As funções das ondas são:
Aqui,
é a amplitude,
é o número de onda,
é a frequência angular,
é a posição,
é o tempo e
é uma fase constante. Vamos precisar usar conceitos de superposição de ondas e ondas estacionárias para resolver as partes (a) e (b).
Passo 2
Primeiro, vamos somar as duas ondas para encontrar a expressão da onda resultante. Usaremos a fórmula de soma de senos:
Aplicando isso às nossas ondas:
Simplificando:
Passo 3
Agora, observamos a forma da onda resultante:
Essa expressão representa uma onda estacionária, onde:
-
é a amplitude da onda em função de . -
é a oscilação temporal.
Os nós de uma onda estacionária são os pontos onde a amplitude é sempre zero. Para encontrar os nós, igualamos a parte que depende de
a zero:
Passo 4
Resolvendo a equação
, sabemos que o seno é zero para:
Isolando
:
Como
, onde
é o comprimento de onda, substituímos:
Isso mostra que a posição dos nós depende da fase
, ou seja, a fase
desloca os nós ao longo da cadeia.
Passo 5
Para encontrar a distância entre os nós, consideramos dois nós consecutivos, com
e
:
Simplificando:
Isso mostra que, independentemente da fase
, a distância entre dois nós consecutivos é sempre
.
Resposta
(a) A constante de fase
apenas desloca a posição dos nós ao longo da cadeia.
(b) A distância entre os nós permanece sendo metade do comprimento de onda, ou seja,
.
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Duas ondas viajando em direções opostas produzem uma onda estacionária. As funções de onda individuais são
onde x e y são medidos em centímetros. (A) Encontre a amplitude do movimento harmônico simples do elemento do meio localizado em
. (B) Encontre as posições dos nós e antinodos se uma extremidade da corda estiver em
. © Qual é o valor máximo da posição no movimento harmônico simples de um elemento localizado em um antinodo?
A função de onda para uma onda em uma corda esticada é
$$
y=(0.15 \mathrm{~m}) \sin (0.80 x-50 t)$$
onde está em metros e
em segundos. (a) Qual é a taxa média na qual a energia é transmitida ao longo da corda se a densidade de massa linear for
? (b) Qual é a energia contida em cada ciclo da onda?
onde
(a) Escreva a expressão para y como uma função de
e
para uma onda sinusoidal viajando ao longo de uma corda na direção
negativa com as seguintes características:
e y
(b) E se? Escreva a expressão para y como uma função de
e
para a onda na parte (a) assumindo que
no ponto
.
suas mulheres ficaram ansiosas entre os antigos exegos ganharama executassem of am a batalha, mas aldar seus filhos e, em sequda suas esposas para, se näo Fidipedes que plano. Para evitas a luta levou mais temparas puidarem-se.
tão rapida que corresse até Aten isso, o general gres tempo do que haviam pensado, de modo que temeram que elas Quando, quanto pôde e, situada a cerca de 40 km dalilía ordenou a seu melhor corredor, o soldado e atleta Perno, segundo a lenda, fira cogar, conseguiu dizer apenas 8rega para comprimente correu a uma velo Maratona até Atenas para ievar a ncticla da vitoria dos Gregos sabre as de uma unidade mento. como o stadium ecidade de cerca de 23 rides par hora (rides ). O ride é uma antiga unidade
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tão rapida que corresse até Aten isso, o general gres tempo do que haviam pensado, de modo que temeram que elas Quando, quanto pôde e, situada a cerca de 40 km dalilía ordenou a seu melhor corredor, o soldado e atleta Perno, segundo a lenda, fira cogar, conseguiu dizer apenas 8rega para comprimente correu a uma velo Maratona até Atenas para ievar a ncticla da vitoria dos Gregos sabre as de uma unidade mento. como o stadium ecidade de cerca de 23 rides par hora (rides