Escreva uma expressão para a inclinação da reta tangente à curva no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever uma expressão que representa a inclinação da reta tangente à curva no ponto . Isso está relacionado ao estudo de derivadas em cálculo, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. Imagine que você tem uma curva representada por e quer desenhar uma reta que “tange” essa curva em um único ponto . A inclinação dessa reta é o que estamos buscando.

Passo 3

A inclinação da reta tangente é basicamente a derivada da função no ponto . A derivada nos dá a taxa de variação instantânea da função naquele ponto, ou seja, quão inclinada está a curva naquele local específico.

Passo 4

Para encontrar a derivada, usamos a definição de limite. A ideia é calcular o limite da taxa de variação média da função quando o intervalo de variação tende a zero. Matemática isso fica assim:
Aqui, representa uma pequena variação em , e a fração inteira calcula a inclinação da secante entre e . Quando se aproxima de zero, a secante se torna a tangente.

Passo 5

Então, juntando tudo, a expressão para a inclinação da reta tangente à curva no ponto é a derivada de em , dada por:

Resposta

A expressão para a inclinação da reta tangente à curva no ponto é:

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