Defina a derivada
. Discuta as duas maneiras de interpretar esse número.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para definirmos a derivada
e discutirmos duas maneiras de interpretar esse número. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas. Para resolver, vamos precisar entender o que é derivada e como ela pode ser interpretada de diferentes formas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a derivada
. A derivada de uma função em um ponto
é o limite da taxa de variação média da função quando o intervalo está se aproximando de zero. Em termos matemáticos, isso é expresso por:
Esse limite, se existir, representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos discutir as duas maneiras de interpretar
:
1. Slope da Reta Tangente:
A primeira interpretação é geométrica. A derivada
representa a inclinação da reta que toca o gráfico da função exatamente no ponto
sem cortar o gráfico naquele ponto. Essa reta é chamada de reta tangente. Então, se você desenhar a reta tangente no ponto
, a inclinação dessa reta será igual a
.
2. Taxa de Variação Instantânea:
A segunda interpretação é relacionada à taxa de variação. Aqui,
indica como a função está mudando naquele ponto específico. Por exemplo, se
representa a posição de um objeto em função do tempo, então
seria a velocidade instantânea do objeto no tempo
. Ou seja, mostra quão rápido a posição está mudando naquele exato momento.
Resposta
A derivada
é definida como o limite da taxa de variação média da função quando o intervalo tende a zero:
Esse número pode ser interpretado de duas maneiras principais:
- Inclinação da Reta Tangente: Representa a inclinação da reta que toca o gráfico da função no ponto
. - Taxa de Variação Instantânea: Indica a velocidade com que a função está mudando no ponto
.
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Defina a derivada
. Discuta as duas maneiras de interpretar esse número.
Escreva uma expressão para a inclinação da reta tangente à curva
no ponto
.
Defina a segunda derivada de
. Se
for a função de posição de uma partícula, como você pode interpretar a segunda derivada?