Defina a derivada . Discuta as duas maneiras de interpretar esse número.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para definirmos a derivada e discutirmos duas maneiras de interpretar esse número. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas. Para resolver, vamos precisar entender o que é derivada e como ela pode ser interpretada de diferentes formas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a derivada . A derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação média da função quando o intervalo está se aproximando de zero. Em termos matemáticos, isso é expresso por:
Esse limite, se existir, representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto .

Passo 3

Agora, vamos discutir as duas maneiras de interpretar :
1. Slope da Reta Tangente:
A primeira interpretação é geométrica. A derivada representa a inclinação da reta que toca o gráfico da função exatamente no ponto sem cortar o gráfico naquele ponto. Essa reta é chamada de reta tangente. Então, se você desenhar a reta tangente no ponto , a inclinação dessa reta será igual a .
2. Taxa de Variação Instantânea:
A segunda interpretação é relacionada à taxa de variação. Aqui, indica como a função está mudando naquele ponto específico. Por exemplo, se representa a posição de um objeto em função do tempo, então seria a velocidade instantânea do objeto no tempo . Ou seja, mostra quão rápido a posição está mudando naquele exato momento.

Resposta

A derivada é definida como o limite da taxa de variação média da função quando o intervalo tende a zero:
Esse número pode ser interpretado de duas maneiras principais:
  1. Inclinação da Reta Tangente: Representa a inclinação da reta que toca o gráfico da função no ponto .
  2. Taxa de Variação Instantânea: Indica a velocidade com que a função está mudando no ponto .

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Defina a derivada . Discuta as duas maneiras de interpretar esse número.
Escreva uma expressão para a inclinação da reta tangente à curva no ponto .
Defina a segunda derivada de . Se for a função de posição de uma partícula, como você pode interpretar a segunda derivada?