Intensidade. Duas fendas espaçadas por 0,0720 mm estão a 0,800 m de uma tela. Uma luz coerente de comprimento de onda lambda passa pelas duas fendas. Em seu padrão de interferência na tela, a distância do centro do máximo central até o primeiro mínimo é de 3,00 mm. Se a intensidade no pico de um máximo central é igual a 0,0600 W / m^2, qual é a intensidade nos pontos da tela que estão a (a) 2,00 mm e (b) 1,50 mm do centro do máximo central?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas fendas espaçadas por 0,0720 , mm que estão a 0,800 , m de distância de uma tela. Uma luz com comprimento de onda lambda passa por essas fendas e cria um padrão de interferência na tela. Sabemos que a distância do centro até o primeiro mínimo é de 3,00 , mm e a intensidade no máximo central é 0,0600 , W/m^2. Precisamos descobrir a intensidade em pontos que estão a 2,00 , mm e 1,50 , mm do centro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de interferência de dupla fenda e fórmulas que relacionam a intensidade com a posição na tela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o comprimento de onda lambda da luz. Sabemos que o primeiro mínimo ocorre quando a diferença de caminho é lambda/2. A distância do mínimo y = 3,00 , mm está relacionada pela fórmula:
d cdot sintheta = lambda2
Como a tela está a L = 0,800 , m, e assumindo que theta é pequeno, podemos aproximar sintheta approx tantheta = yL. Assim:
d cdot yL = lambda2
Reorganizando para encontrar lambda:
lambda = 2dyL

Passo 3

Vamos substituir os valores na equação para encontrar lambda:
d = 0,0720 , mm = 0,0720 times 10^-3 , m
y = 3,00 , mm = 3,00 times 10^-3 , m
L = 0,800 , m
Substituindo:
lambda = 2 times 0,0720 times 10^-3 times 3,00 times 10^-30,800 = 4,32 times 10^-50,800 = 5,40 times 10^-5 , m = 54,0 , nm
Parece que houve um erro nos cálculos, vamos refazer:
lambda = 2 times 0,0720 times 10^-3 times 3,00 times 10^-30,800 = 4,32 times 10^-50,800 = 5,40 times 10^-5 , m = 540 , nm
Isso faz mais sentido para a luz visível.

Passo 4

Agora que temos lambda = 540 , nm, vamos usar a fórmula da intensidade na interferência de dupla fenda:
I(y) = I0 cos^2(pi d ylambda L)
Onde:
  • I0 = 0,0600 , W/m^2 é a intensidade no máximo central.
  • d = 0,0720 times 10^-3 , m é a distância entre as fendas.
  • L = 0,800 , m é a distância até a tela.
  • lambda = 540 times 10^-9 , m é o comprimento de onda.
  • y é a posição na tela onde queremos encontrar a intensidade.

Passo 5

Vamos calcular a intensidade para y = 2,00 , mm e y = 1,50 , mm.
Primeiro, para y = 2,00 , mm = 2,00 times 10^-3 , m:
I(2,00) = 0,0600 cos^2(pi times 0,0720 times 10^-3 times 2,00 times 10^-3540 times 10^-9 times 0,800)
Calculando o argumento do cosseno:
pi times 0,0720 times 10^-3 times 2,00 times 10^-3540 times 10^-9 times 0,800 = pi times 0,144 times 10^-6432 times 10^-9 = pi times 0,1440,432 = pi times 13 = pi3
Então:
I(2,00) = 0,0600 cos^2(pi3) = 0,0600 times (12)^2 = 0,0600 times 14 = 0,0150 , W/m^2

Passo 6

Agora, para y = 1,50 , mm = 1,50 times 10^-3 , m:
I(1,50) = 0,0600 cos^2(pi times 0,0720 times 10^-3 times 1,50 times 10^-3540 times 10^-9 times 0,800)
Calculando o argumento do cosseno:
pi times 0,0720 times 10^-3 times 1,50 times 10^-3540 times 10^-9 times 0,800 = pi times 0,108 times 10^-6432 times 10^-9 = pi times 0,1080,432 = pi4
Então:
I(1,50) = 0,0600 cos^2(pi4) = 0,0600 times (raiz22)^2 = 0,0600 times 12 = 0,0300 , W/m^2

Resposta

(a) A intensidade a 2,00 , mm do centro é 0,0150 , W/m^2.
(b) A intensidade a 1,50 , mm do centro é 0,0300 , W/m^2.

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