Escreva na forma polar os seguintes números complexos: (1 + i * raiz(3))^8;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever o número complexo na forma polar. Isso envolve entender números complexos, suas formas retangular e polar, e como elevar números complexos a potências usando a forma polar.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter da forma retangular para a forma polar. A forma polar de um número complexo é , onde é o módulo e é o argumento.

Passo 3

Vamos calcular o módulo . O módulo de é dado por:
Aqui, e , então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento . O argumento é o ângulo que o número complexo faz com o eixo real positivo, calculado por:
Substituindo e :

Passo 5

Com o módulo e o argumento encontrados, podemos escrever na forma polar:

Passo 6

Agora, para elevar esse número complexo à 8ª potência, usamos a fórmula de De Moivre, que diz que:
Aqui, , , e .

Passo 7

Aplicando a fórmula de De Moivre:
Calculando :

Passo 8

Agora, simplificamos o ângulo . Primeiro, multiplicamos:
Como é um giro completo, podemos subtrair para simplificar:

Passo 9

Então, temos:

Resposta

A forma polar de é:

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