Escreva na forma polar os seguintes números complexos:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever o número complexo
na forma polar. Isso envolve entender números complexos, suas formas retangular e polar, e como elevar números complexos a potências usando a forma polar.
Passo 2
Primeiro, precisamos converter
da forma retangular para a forma polar. A forma polar de um número complexo é , onde
é o módulo e
é o argumento.
Passo 3
Vamos calcular o módulo
. O módulo de
é dado por:
Aqui,
e
, então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento
. O argumento é o ângulo que o número complexo faz com o eixo real positivo, calculado por:
Substituindo
e
:
Passo 5
Com o módulo e o argumento encontrados, podemos escrever
na forma polar:
Passo 6
Agora, para elevar esse número complexo à 8ª potência, usamos a fórmula de De Moivre, que diz que:
Aqui,
,
, e
.
Passo 7
Aplicando a fórmula de De Moivre:
Calculando
:
Passo 8
Agora, simplificamos o ângulo
. Primeiro, multiplicamos:
Como
é um giro completo, podemos subtrair
para simplificar:
Passo 9
Então, temos:
Resposta
A forma polar de
é: