Em cada caso, calcule a área da região
do plano
delimitada pelas curvas indicadas:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região
no plano
que fica entre as curvas
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral para isso, especificamente a integração entre curvas. Precisamos descobrir onde essas curvas se interceptam e então calcular a integral que representa a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões de
:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
onde as curvas se cruzam.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática em
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções para
:
Como
não pode ser negativo, descartamos
. Portanto,
, o que nos dá
.
Passo 5
Agora sabemos que as curvas se intersectam nos pontos
e
. Vamos visualizar qual curva está por cima nesse intervalo. Para isso, escolhemos um valor de
entre
e
, por exemplo,
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
A área entre as curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, de
a
:
Passo 7
Vamos calcular essa integral. Primeiro, separamos em duas integrais:
Sabemos que:
Passo 8
Calculando cada parte das integrais:
Para
:
Para
:
Passo 9
Agora, subtraímos as duas partes:
Resposta
A área da região
delimitada pelas curvas
e
é: