Em cada caso, calcule a área da região D do plano x y delimitada pelas curvas indicadas:
y = x^2 e y = 2 / (1 + x^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região no plano que fica entre as curvas e . Vamos usar conceitos de cálculo integral para isso, especificamente a integração entre curvas. Precisamos descobrir onde essas curvas se interceptam e então calcular a integral que representa a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões de :
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de onde as curvas se cruzam.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática em :
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções para :
Como não pode ser negativo, descartamos . Portanto, , o que nos dá .

Passo 5

Agora sabemos que as curvas se intersectam nos pontos e . Vamos visualizar qual curva está por cima nesse intervalo. Para isso, escolhemos um valor de entre e , por exemplo, :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 6

A área entre as curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, de a :
Á

Passo 7

Vamos calcular essa integral. Primeiro, separamos em duas integrais:
Á
Sabemos que:

Passo 8

Calculando cada parte das integrais:
Para :
Para :

Passo 9

Agora, subtraímos as duas partes:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é:
Áá

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