Use a mudança de coordenadas
e calcule a integral dupla
sobre a região
do plano
delimitada pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando uma mudança de coordenadas. O enunciado nos pede para calcular
sobre a região
delimitada pelas retas
,
,
e
.
Vamos precisar usar mudança de variáveis para facilitar a integração. As novas coordenadas são
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a região
se transforma nas novas coordenadas
e
. Para isso, vamos expressar as equações das retas em termos de
e
.
Vamos começar com cada reta:
-
:
Substituindoe , Simplificando: -
: Simplificando: -
: Simplificando: -
: Simplificando:
Então, na nova coordenada, as retas se tornam:
Passo 3
Agora que temos as novas fronteiras, vamos identificar os limites de integração em
e
. Observamos que
varia de 0 a 2 e
varia de -1 a 0.
Então, os limites de integração são:
Passo 4
Precisamos calcular o determinante Jacobiano da transformação para ajustar a integral dupla. O Jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
O valor absoluto do Jacobiano é 1, então não precisamos alterar a integral.
Passo 5
Agora, vamos expressar a função
x y = (u - v)(2u - v) = 2u^2 - u v - 2u v + v^2 = 2u^2 - 3u v + v^2 em termos de
e
:
Passo 6
Com tudo isso, a integral dupla original se transforma na nova integral:
Como
integral duplaD x y , dx , dy = integral-1^0 integral0^2 (2u^2 - 3u v + v^2) , dv , du , temos:
Passo 7
Vamos primeiro integrar em relação a
integral0^2 (2u^2 - 3u v + v^2) , dv :
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo os limites:
Passo 8
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
integral-1^0 (4u^2 - 6u + 83) du :
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo os limites:
Resposta
A integral dupla vale 7.