Use a mudança de coordenadas x=u-v, y=2 u-v e calcule a integral dupla
integral duplaD x y d x d y
sobre a região D do plano x y delimitada pelas retas y=2 x, y=2 x-2, x=y e x=y+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando uma mudança de coordenadas. O enunciado nos pede para calcular
integral duplaD x y , dx , dy
sobre a região delimitada pelas retas , , e .
Vamos precisar usar mudança de variáveis para facilitar a integração. As novas coordenadas são e .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a região 2u - v = 2(u - v) se transforma nas novas coordenadas 2u - v = 2u - 2v Rightarrow -v = -2v Rightarrow v = 0 e 2u - v = 2(u - v) - 2 . Para isso, vamos expressar as equações das retas em termos de 2u - v = 2u - 2v - 2 Rightarrow -v + 2v = -2 Rightarrow v = 2 e u - v = 2u - v .
Vamos começar com cada reta:
  1. u - v = 2u - v Rightarrow u = 0 :
    Substituindo u - v = (2u - v) + 1 e u - v = 2u - v + 1 Rightarrow -u = 1 Rightarrow u = -1 ,
    Simplificando:
  2. :
    Simplificando:
  3. :
    Simplificando:
  4. :
    Simplificando:
Então, na nova coordenada, as retas se tornam:

Passo 3

Agora que temos as novas fronteiras, vamos identificar os limites de integração em -1 <= u <= 0 e 0 <= v <= 2 . Observamos que varia de 0 a 2 e varia de -1 a 0.
Então, os limites de integração são:

Passo 4

Precisamos calcular o determinante Jacobiano da transformação para ajustar a integral dupla. O Jacobiano é dado por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = 1, partial xpartial v = -1
partial ypartial u = 2, partial ypartial v = -1
Então,
J = 1 & -1 2 & -1 = (1)(-1) - (-1)(2) = -1 + 2 = 1
O valor absoluto do Jacobiano é 1, então não precisamos alterar a integral.

Passo 5

Agora, vamos expressar a função x y = (u - v)(2u - v) = 2u^2 - u v - 2u v + v^2 = 2u^2 - 3u v + v^2 em termos de e :

Passo 6

Com tudo isso, a integral dupla original se transforma na nova integral:
integral duplaD x y , dx , dy = integralu=-1^0 integralv=0^2 (2u^2 - 3u v + v^2) cdot |J| , dv , du
Como integral duplaD x y , dx , dy = integral-1^0 integral0^2 (2u^2 - 3u v + v^2) , dv , du , temos:

Passo 7

Vamos primeiro integrar em relação a integral0^2 (2u^2 - 3u v + v^2) , dv :
2u^2 integral0^2 dv - 3u integral0^2 v , dv + integral0^2 v^2 , dv
Integrando termo a termo:
2u^2 [v]0^2 - 3u [v^22]0^2 + [v^33]0^2
Calculando as integrais:
2u^2 (2 - 0) - 3u (42 - 0) + (83 - 0) = 4u^2 - 6u + 83
Substituindo os limites:

Passo 8

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral-1^0 (4u^2 - 6u + 83) du :
4 integral-1^0 u^2 , du - 6 integral-1^0 u , du + 83 integral-1^0 du
Integrando termo a termo:
4 [u^33]-1^0 - 6 [u^22]-1^0 + 83 [u]-1^0
Calculando as integrais:
4 (0 - (-1)^33) - 6 (0 - (-1)^22) + 83 (0 - (-1))
Substituindo os limites:
4 (0 + 13) - 6 (0 - 12) + 83 (0 + 1)
43 + 3 + 83 = 4 + 9 + 83 = 213 = 7

Resposta

A integral dupla vale 7.

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