Sejam z1 = raiz(3) + 3 i e z2 = (3 - i raiz(3)) / 2. Escreva z1, z2, z1 * z2 e z1/z2 na forma polar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos dois números complexos:
Nosso objetivo é escrever , , e na forma polar. Para isso, vamos usar os conceitos de representação polar de números complexos, que envolve calcular o módulo e o argumento de cada número.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a forma polar de um número complexo. Um número complexo pode ser representado na forma polar como:
onde:
  • é o módulo de ,
  • é o argumento de .

Passo 3

Vamos calcular o módulo e o argumento de .
Módulo de :
Argumento de :
Então, na forma polar é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo e o argumento de .
Primeiro, podemos escrever separando as partes reais e imaginárias:
Módulo de :
Argumento de :
Como o número está no quarto quadrante, o argumento é .
Então, na forma polar é:

Passo 5

Vamos agora multiplicar e na forma polar. Quando multiplicamos dois números complexos na forma polar, multiplicamos os módulos e somamos os argumentos.
Módulo de :
Argumento de :
Então, na forma polar é:

Passo 6

Por último, vamos dividir por na forma polar. Quando dividimos dois números complexos na forma polar, dividimos os módulos e subtraímos os argumentos.
Módulo de :
Argumento de :
Então, na forma polar é:

Resposta

As formas polares são:

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