Escreva na forma de um único radical, empregando as propriedades ³√5/⁴√2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente escrever usando apenas um radical. Isso envolve trabalhar com propriedades de radicais e potências. Vou explicar como combinar esses dois radicais em um único usando algumas regras de matemática que lidam com raízes e expoentes.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que qualquer radical pode ser escrito como uma potência. Ou seja, raiz[n]a = a^1/n. Então, vamos reescrever os radicais que temos:
raiz[3]5raiz[4]2 = 5^1/32^1/4

Passo 3

Agora, para combinar esses dois termos em um único radical, precisamos expressar a divisão de potências com diferentes expoentes de uma forma que possamos unificar. Uma estratégia é escrever ambos com o mesmo denominador de expoente. Para isso, vamos achar um denominador comum entre 3 e 4, que é 12.

Passo 4

Vamos ajustar os expoentes para que ambos tenham denominador 12:
5^1/3 = 5^4/12
2^1/4 = 2^3/12
Então, nossa expressão fica:
5^4/122^3/12

Passo 5

Agora que os expoentes têm o mesmo denominador, podemos combinar a fração dentro de um único radical. Lembrando que a^mb^m = (ab)^m, temos:
(5^42^3)^1/12

Passo 6

Vamos calcular as potências dentro da fração:
5^4 = 625
2^3 = 8
Portanto, a expressão fica:
(6258)^1/12

Passo 7

Finalmente, podemos escrever isso como um único radical:
raiz[12]6258

Resposta

A expressão raiz[3]5raiz[4]2 escrita como um único radical é raiz[12]6258.

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