a) Existem relações de equivalência?
b) Existem relações de ordem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou duas perguntas:
a) Existem relações de equivalência?
b) Existem relações de ordem?
Vamos resolver isso juntos. Primeiro, relações são maneiras de ligar elementos de um conjunto entre si. Relações de equivalência e relações de ordem são tipos especiais de relações que seguem certas regras. Para entender se essas relações existem, vamos revisar as definições e ver exemplos!

Passo 2

Relações de Equivalência
Uma relação de equivalência em um conjunto precisa satisfazer três propriedades:
  1. Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo. Por exemplo, .
  2. Simétrica: Se , então .
  3. Transitiva: Se e , então .
Vamos pensar se essas propriedades podem ser satisfeitas. Claro que sim! Um exemplo clássico é a relação de “ter a mesma cor”. Se alguém tem a mesma cor que ele mesmo (reflexiva), se A tem a mesma cor que B, então B tem a mesma cor que A (simétrica), e se A tem a mesma cor que B e B tem a mesma cor que C, então A tem a mesma cor que C (transitiva).

Passo 3

Relações de Ordem
Já as relações de ordem também seguem certas propriedades, mas são um pouquinho diferentes:
  1. Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo, igual nas relações de equivalência.
  2. Antissimétrica: Se e , então .
  3. Transitiva: Se e , então .
Essas propriedades definem uma ordem parcial. Se, além disso, qualquer dois elementos são comparáveis, temos uma ordem total. Um exemplo de relação de ordem é a relação “menor ou igual a” ( ) nos números.

Passo 4

Existem Relações de Equivalência e de Ordem?
Sim, existem tanto relações de equivalência quanto relações de ordem, porque podemos definir relações que obedecem às propriedades mencionadas.
  • Para Equivalência: Como no exemplo das cores ou números que são congruentes em matemática.
  • Para Ordem: Como na relação “menor ou igual a” ( ) nos números inteiros.

Resposta

Sim, existem relações de equivalência e relações de ordem. As relações de equivalência satisfazem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva, enquanto as relações de ordem satisfazem as propriedades reflexiva, antissimétrica e transitiva.

Exercícios relacionados

a) ( ) Se e , então .
b) ( ) Se , então ou .
c) ( ) Se e , então .
d) ( ) Se e , então .
a) Escreva uma fórmula para .
b) Verificar se a fórmula que você escreveu é válida para todo .
a) Qual das relações acima é de equivalência?
b) Qual das relações acima é de ordem?
c) Determine o conjunto quociente para a relação do item a).
d) Determine uma partição de .
Aparelho
Eficiéncia no
Incendio ( hora)
Custo
(R$ hora)
Necessidade
em Pessoal
Helicóptero AH-1 15.000 2.000 2 Pilots.
Aviao Tanque 40.000 4.000 2 Pilots. +1 Op.
Aviaao B67 85.000 10.000 2 Pilots. +3 Op.
A área de floresta a ser coberta pelo combate ao fogo é de 3.000 .000 m 2 , envolvendo a frente de fogo (para paralisação do avanço do dano), áreas já queimadas que necessitam de rescaldo (para proteçăo de animais e segurança contra recrudescimento) e áreas de acero (proteçâo preventiva indispensável). Nas bases de apoio sâo disponiveis 14 pilotos de aviâo e 10 de helicóptero, bem como 22 operadores especializados em combate aéreo de fogo.