a) Existem relações de equivalência?
b) Existem relações de ordem?
b) Existem relações de ordem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou duas perguntas:
a) Existem relações de equivalência?
b) Existem relações de ordem?
Vamos resolver isso juntos. Primeiro, relações são maneiras de ligar elementos de um conjunto entre si. Relações de equivalência e relações de ordem são tipos especiais de relações que seguem certas regras. Para entender se essas relações existem, vamos revisar as definições e ver exemplos!
Passo 2
Relações de Equivalência
Uma relação de equivalência em um conjunto precisa satisfazer três propriedades:
- Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo. Por exemplo,
. - Simétrica: Se
, então . - Transitiva: Se
e , então .
Vamos pensar se essas propriedades podem ser satisfeitas. Claro que sim! Um exemplo clássico é a relação de “ter a mesma cor”. Se alguém tem a mesma cor que ele mesmo (reflexiva), se A tem a mesma cor que B, então B tem a mesma cor que A (simétrica), e se A tem a mesma cor que B e B tem a mesma cor que C, então A tem a mesma cor que C (transitiva).
Passo 3
Relações de Ordem
Já as relações de ordem também seguem certas propriedades, mas são um pouquinho diferentes:
- Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo, igual nas relações de equivalência.
- Antissimétrica: Se
e , então . - Transitiva: Se
e , então .
Essas propriedades definem uma ordem parcial. Se, além disso, qualquer dois elementos são comparáveis, temos uma ordem total. Um exemplo de relação de ordem é a relação “menor ou igual a” (
) nos números.
Passo 4
Existem Relações de Equivalência e de Ordem?
Sim, existem tanto relações de equivalência quanto relações de ordem, porque podemos definir relações que obedecem às propriedades mencionadas.
-
Para Equivalência: Como no exemplo das cores ou números que são congruentes em matemática.
-
Para Ordem: Como na relação “menor ou igual a” (
) nos números inteiros.
Resposta
Sim, existem relações de equivalência e relações de ordem. As relações de equivalência satisfazem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva, enquanto as relações de ordem satisfazem as propriedades reflexiva, antissimétrica e transitiva.