a) ( ) Se e , então .
b) ( ) Se , então ou .
c) ( ) Se e , então .
d) ( ) Se e , então .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Ele trata de propriedades de divisibilidade na matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um número dividir outro e aplicar algumas regras básicas de divisibilidade.

Passo 2

Item a) Se e , então .
Vamos analisar isso. Se divide , significa que para algum inteiro . Similarmente, implica que .
Agora, somando e :
Queremos saber se divide . Para isso, precisaríamos que:
para algum inteiro .
No entanto, isso nem sempre é verdade. Por exemplo, suponha que , , , e .
Aqui, é verdadeiro. Mas se escolhermos , , , e :
Neste caso, também é verdadeiro. Porém, nem sempre funciona para outros valores. Por exemplo, , , , :
Aqui, não divide . Então, o item a) nem sempre é verdadeiro.

Passo 3

Item b) Se , então ou .
Vamos pensar nisso. Sabemos que se divide a soma de e , isso não necessariamente significa que divide ou divide individualmente.
Por exemplo, considere , , e :
E de fato, e . Mas agora, outro exemplo: , , e :
Aqui, , mas . Só um dos termos é dividido por . Porém, se escolhermos , , e :
Mas e . Nenhum dos dois é dividido por . Então, o item b) não é sempre verdadeiro.

Passo 4

Item c) Se e , então .
Isso é uma propriedade conhecida como transitividade da divisão. Se divide e divide , então necessariamente divide .
Por exemplo, se , , e :
Então, é verdadeiro. Esse padrão vale para quaisquer números inteiros onde a condição inicial é satisfeita. Portanto, o item c) é verdadeiro.

Passo 5

Item d) Se e , então .
Vamos analisar isso. Se divide , então:
para algum inteiro . Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (já que ):
Isso mostra que divide . Portanto, o item d) é verdadeiro.

Resposta

  • a) Falso
  • b) Falso
  • c) Verdadeiro
  • d) Verdadeiro

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a) Escreva uma fórmula para .
b) Verificar se a fórmula que você escreveu é válida para todo .
a)
b)
c)
d)
a) Existem relações de equivalência?
b) Existem relações de ordem?
a) Qual das relações acima é de equivalência?
b) Qual das relações acima é de ordem?
c) Determine o conjunto quociente para a relação do item a).
d) Determine uma partição de .