a) ( ) Se
e
, então
.
b) ( ) Se
, então
ou
.
c) ( ) Se
e
, então
.
d) ( ) Se
e
, então
.
b) ( ) Se
c) ( ) Se
d) ( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Ele trata de propriedades de divisibilidade na matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um número dividir outro e aplicar algumas regras básicas de divisibilidade.
Passo 2
Item a) Se
e
, então
.
Vamos analisar isso. Se
divide
, significa que
para algum inteiro
. Similarmente,
implica que
.
Agora, somando
e
:
Queremos saber se
divide
. Para isso, precisaríamos que:
para algum inteiro
.
No entanto, isso nem sempre é verdade. Por exemplo, suponha que
,
,
, e
.
Aqui,
é verdadeiro. Mas se escolhermos
,
,
, e
:
Neste caso,
também é verdadeiro. Porém, nem sempre funciona para outros valores. Por exemplo,
,
,
,
:
Aqui,
não divide
. Então, o item a) nem sempre é verdadeiro.
Passo 3
Item b) Se
, então
ou
.
Vamos pensar nisso. Sabemos que se
divide a soma de
e
, isso não necessariamente significa que
divide
ou
divide
individualmente.
Por exemplo, considere
,
, e
:
E de fato,
e
. Mas agora, outro exemplo:
,
, e
:
Aqui,
, mas
. Só um dos termos é dividido por
. Porém, se escolhermos
,
, e
:
Mas
e
. Nenhum dos dois é dividido por
. Então, o item b) não é sempre verdadeiro.
Passo 4
Item c) Se
e
, então
.
Isso é uma propriedade conhecida como transitividade da divisão. Se
divide
e
divide
, então
necessariamente divide
.
Por exemplo, se
,
, e
:
Então,
é verdadeiro. Esse padrão vale para quaisquer números inteiros onde a condição inicial é satisfeita. Portanto, o item c) é verdadeiro.
Passo 5
Item d) Se
e
, então
.
Vamos analisar isso. Se
divide
, então:
para algum inteiro
. Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(já que
):
Isso mostra que
divide
. Portanto, o item d) é verdadeiro.
Resposta
- a) Falso
- b) Falso
- c) Verdadeiro
- d) Verdadeiro
Exercícios relacionados
a) Escreva uma fórmula para
.
b) Verificar se a fórmula que você escreveu é válida para todo .
b) Verificar se a fórmula que você escreveu é válida para todo
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)
a) Existem relações de equivalência?
b) Existem relações de ordem?
b) Existem relações de ordem?
a) Qual das relações acima é de equivalência?
b) Qual das relações acima é de ordem?
c) Determine o conjunto quociente para a relação do item a).
d) Determine uma partição de .
b) Qual das relações acima é de ordem?
c) Determine o conjunto quociente para a relação do item a).
d) Determine uma partição de