Utilize a fórmula de Simpson com
para estimar o comprimento do arco de curva com equação
,
até
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de um arco de uma curva tridimensional usando a Fórmula de Simpson com
. Para isso, vamos trabalhar com cálculo integral e derivadas das funções que definem a curva. Vamos precisar calcular as derivadas de
,
e
, montar a expressão para o comprimento do arco e aplicar a Fórmula de Simpson para estimar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular o comprimento de um arco de uma curva paramétrica no espaço tridimensional. Se temos as funções
,
e
, o comprimento do arco de
até
é dado por:
Passo 3
Vamos identificar as funções dadas no problema:
Precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas na expressão do comprimento do arco:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Vamos definir a função que iremos integrar:
Agora, vamos aplicar a Fórmula de Simpson com
. A Fórmula de Simpson para
intervalos é:
Onde
, e
.
Passo 6
Calculando
:
Os pontos
são:
Passo 7
Agora, vamos calcular
para cada
:
Passo 8
Agora, aplicamos a Fórmula de Simpson:
Calculando dentro dos colchetes:
Então:
Resposta
O comprimento estimado do arco da curva é aproximadamente 3,416 unidades.
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(a) Escreva as fórmulas para os vetores normal e binormal de uma curva lisa espacial
.
(b) O que é o plano normal de uma curva em um ponto? E o plano osculador? O que é o círculo osculador?
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Suponha que
seja uma sequência de números reais. Assuma que existam
,
e que
, para todo
. Mostre que
é uma Sequência de Cauchy.
Prove que
.