Utilize a fórmula de Simpson com para estimar o comprimento do arco de curva com equação , até .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de um arco de uma curva tridimensional usando a Fórmula de Simpson com . Para isso, vamos trabalhar com cálculo integral e derivadas das funções que definem a curva. Vamos precisar calcular as derivadas de , e , montar a expressão para o comprimento do arco e aplicar a Fórmula de Simpson para estimar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o comprimento de um arco de uma curva paramétrica no espaço tridimensional. Se temos as funções , e , o comprimento do arco de até é dado por:

Passo 3

Vamos identificar as funções dadas no problema:
Precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas na expressão do comprimento do arco:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Vamos definir a função que iremos integrar:
Agora, vamos aplicar a Fórmula de Simpson com . A Fórmula de Simpson para intervalos é:
Onde , e .

Passo 6

Calculando :
Os pontos são:

Passo 7

Agora, vamos calcular para cada :

Passo 8

Agora, aplicamos a Fórmula de Simpson:
Calculando dentro dos colchetes:
Então:

Resposta

O comprimento estimado do arco da curva é aproximadamente 3,416 unidades.

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Prove que .