Suponha que toda subsequência de
admita uma subsequência que converge ao mesmo número real
. Mostre que
.
Passo 1
Ok, vamos começar entendendo o que a questão está dizendo. Temos uma sequência de números reais, chamada
. A afirmação é que toda subsequência dessa sequência original tem uma subsequência que converge para o número
. Nosso objetivo é mostrar que a sequência inteira
converge para
. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de limites de sequências e subsequências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma sequência
converge para um limite
, então todas as suas subsequências também convergem para o mesmo limite
. Isso porque, intuitivamente, as subsequências “herdam” o comportamento da sequência original.
Passo 3
Agora, vamos pensar no caminho inverso. Queremos mostrar que se todas as subsequências de
têm uma subsequência que converge para
, então a sequência original
deve necessariamente convergir para
. Vamos fazer isso por contradição.
Passo 4
Suponha que a sequência
não converge para
. Isso significa que existe um número positivo
tal que, para qualquer número natural
, existe algum termo
com
que está a pelo menos
de distância de
, ou seja,
.
Passo 5
Com esse
fixo, podemos construir uma subsequência de
onde todos os seus termos satisfazem
. De acordo com a hipótese da questão, essa subsequência deve ter uma subsequência que converge para
. Porém, isso é um paradoxo, porque todos os termos dessa subsequência estão a pelo menos
de
, o que impede a convergência para
.
Resposta
Portanto, nossa suposição de que
não converge para
leva a uma contradição. Assim, concluímos que
.