Suponha que toda subsequência de xnn in N admita uma subsequência que converge ao mesmo número real a. Mostre que lim n +infty xn=a.

Passo 1

Ok, vamos começar entendendo o que a questão está dizendo. Temos uma sequência de números reais, chamada xn. A afirmação é que toda subsequência dessa sequência original tem uma subsequência que converge para o número a. Nosso objetivo é mostrar que a sequência inteira xn converge para a. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de limites de sequências e subsequências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma sequência xn converge para um limite a, então todas as suas subsequências também convergem para o mesmo limite a. Isso porque, intuitivamente, as subsequências “herdam” o comportamento da sequência original.

Passo 3

Agora, vamos pensar no caminho inverso. Queremos mostrar que se todas as subsequências de xn têm uma subsequência que converge para a, então a sequência original xn deve necessariamente convergir para a. Vamos fazer isso por contradição.

Passo 4

Suponha que a sequência xn não converge para a. Isso significa que existe um número positivo epsilon tal que, para qualquer número natural N, existe algum termo xn com n >= N que está a pelo menos epsilon de distância de a, ou seja, |xn - a| >= epsilon.

Passo 5

Com esse epsilon fixo, podemos construir uma subsequência de xn onde todos os seus termos satisfazem |xn - a| >= epsilon. De acordo com a hipótese da questão, essa subsequência deve ter uma subsequência que converge para a. Porém, isso é um paradoxo, porque todos os termos dessa subsequência estão a pelo menos epsilon de a, o que impede a convergência para a.

Resposta

Portanto, nossa suposição de que xn não converge para a leva a uma contradição. Assim, concluímos que limn +infty xn = a.

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