Escreva a integral tripla integral triplaD(2+3 y) d V onde D é uma região no primeiro octante limitada pelo cone z= raizx^2+y^2 pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos coordenados
a) em coordenadas cartesianas
b) em coordenadas cilíndricas
c) em coordenadas esféricas
d) Calcule por um dos modos (o que achar mais conveniente e simples).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaD(2+3 y) , dV, onde a região D está no primeiro octante e é limitada pelo cone z = raizx^2 + y^2, pelo cilindro x^2 + y^2 = 1 e pelos planos coordenados. Vamos resolver a parte d), que solicita calcular a integral utilizando o método mais conveniente e simples. Para isso, vamos optar pelas coordenadas cilíndricas, já que a região D tem simetria circular devido ao cilindro e ao cone.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, usamos (r, theta, z), onde:
  • r é a distância do ponto à origem no plano xy,
  • theta é o ângulo em relação ao eixo x positivo,
  • z é a mesma coordenada vertical do sistema cartesiano.
A relação entre as coordenadas cartesianas (x, y, z) e cilíndricas é:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
dV = r , dr , dtheta , dz

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para r, theta e z.
  1. theta: Como estamos no primeiro octante, theta varia de 0 a pi2.
  2. r: O cilindro x^2 + y^2 = 1 se traduz em r = 1, então r varia de 0 a 1.
  3. z: O cone z = raizx^2 + y^2 vira, em coordenadas cilíndricas, z = r. Então, z varia de 0 até r.

Passo 4

Vamos reescrever a função integranda 2 + 3y em coordenadas cilíndricas:
2 + 3y = 2 + 3r sin theta
Então, a integral fica:
integral triplaD(2 + 3r sin theta) , dV = integral0^pi2 integral0^1 integral0^r (2 + 3r sin theta) , r , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo, começando pela integração em z:
integral0^r (2 + 3r sin theta) , r , dz = (2 + 3r sin theta) , r integral0^r dz = (2 + 3r sin theta) , r cdot r = (2 + 3r sin theta) , r^2
Então, a integral se reduz a:
integral0^pi2 integral0^1 (2 + 3r sin theta) , r^2 , dr , dtheta

Passo 6

Vamos agora integrar em r:
Primeiro, expandimos a expressão:
(2 + 3r sin theta) , r^2 = 2r^2 + 3r^3 sin theta
Integrando em r de 0 a 1:
integral0^1 2r^2 , dr + integral0^1 3r^3 sin theta , dr = 2 [ r^33 ]0^1 + 3 sin theta [ r^44 ]0^1 = 23 + 34 sin theta

Passo 7

Agora, integramos em theta de 0 a pi2:
integral0^pi2 ( 23 + 34 sin theta ) , dtheta = 23 integral0^pi2 dtheta + 34 integral0^pi2 sin theta , dtheta
Calculando as integrais:
23 cdot pi2 + 34 [ -cos theta ]0^pi2 = pi3 + 34 ( -0 + 1 ) = pi3 + 34

Resposta

A integral tripla integral triplaD(2+3 y) , dV avalia para:
pi3 + 34

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