Escreva a integral tripla onde D é uma região no primeiro octante limitada pelo cone pelo cilindro e pelos planos coordenados
a) em coordenadas cartesianas
b) em coordenadas cilíndricas
c) em coordenadas esféricas
d) Calcule por um dos modos (o que achar mais conveniente e simples).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla , onde a região está no primeiro octante e é limitada pelo cone , pelo cilindro e pelos planos coordenados. Vamos resolver a parte d), que solicita calcular a integral utilizando o método mais conveniente e simples. Para isso, vamos optar pelas coordenadas cilíndricas, já que a região tem simetria circular devido ao cilindro e ao cone.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, usamos , onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo positivo,
  • é a mesma coordenada vertical do sistema cartesiano.
A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para , e .
  1. : Como estamos no primeiro octante, varia de a .
  2. : O cilindro se traduz em , então varia de a .
  3. : O cone vira, em coordenadas cilíndricas, . Então, varia de até .

Passo 4

Vamos reescrever a função integranda em coordenadas cilíndricas:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo, começando pela integração em :
Então, a integral se reduz a:

Passo 6

Vamos agora integrar em :
Primeiro, expandimos a expressão:
Integrando em de a :

Passo 7

Agora, integramos em de a :
Calculando as integrais:

Resposta

A integral tripla avalia para:

Exercícios relacionados

Determine o volume dos sólidos limitados pelo(s):
a) cilindro e pelos planos e .
b) paraboloides .
Determine as equações em coordenadas cilíndricas para as superfícies dadas por:
a)
b)
Dada uma Progressão Aritmética onde o primeiro termo é 23 e a razão é -6, qual a posição ocupada pelo elemento -13 ?
(a) no ponto de abscissa .
(b) no ponto de abscissa .
© no ponto de abscissa .
(d) no ponto de abscissa .
(e) no ponto de abscissa .
(f) no ponto de abscissa .
(g) no ponto de abscissa .
(h) no ponto de abscissa .
(i) no ponto de abscissa .
(j) no ponto de abscissa