Escreva a integral tripla
onde D é uma região no primeiro octante limitada pelo cone
pelo cilindro
e pelos planos coordenados
a) em coordenadas cartesianas
b) em coordenadas cilíndricas
c) em coordenadas esféricas
d) Calcule por um dos modos (o que achar mais conveniente e simples).
a) em coordenadas cartesianas
b) em coordenadas cilíndricas
c) em coordenadas esféricas
d) Calcule por um dos modos (o que achar mais conveniente e simples).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla
, onde a região
está no primeiro octante e é limitada pelo cone
, pelo cilindro
e pelos planos coordenados. Vamos resolver a parte d), que solicita calcular a integral utilizando o método mais conveniente e simples. Para isso, vamos optar pelas coordenadas cilíndricas, já que a região
tem simetria circular devido ao cilindro e ao cone.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, usamos
, onde:
-
é a distância do ponto à origem no plano , -
é o ângulo em relação ao eixo positivo, -
é a mesma coordenada vertical do sistema cartesiano.
A relação entre as coordenadas cartesianas
e cilíndricas é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração para
,
e
.
-
: Como estamos no primeiro octante, varia de a . -
: O cilindro se traduz em , então varia de a . -
: O cone vira, em coordenadas cilíndricas, . Então, varia de até .
Passo 4
Vamos reescrever a função integranda
em coordenadas cilíndricas:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo, começando pela integração em
:
Então, a integral se reduz a:
Passo 6
Vamos agora integrar em
:
Primeiro, expandimos a expressão:
Integrando em
de
a
:
Passo 7
Agora, integramos em
de
a
:
Calculando as integrais:
Resposta
A integral tripla
avalia para: