Determine o volume dos sólidos limitados pelo(s):
a) cilindro
e pelos planos
e
.
b) paraboloides
.
a) cilindro
b) paraboloides
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o volume de um sólido que é limitado por:
- Um cilindro definido pela equação
- Os planos
e
Vamos usar cálculo integral para encontrar esse volume. Vamos precisar configurar os limites de integração com base nas equações fornecidas.
Passo 2
Vamos visualizar o cilindro
. Este é um cilindro parabólico que se estende ao longo do eixo
. Para encontrar os limites em
e
, observamos que
varia de 0 a 1, já que
e
, então
.
Então, para cada
entre 0 e 1,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a variação de
. O sólido está limitado abaixo pelo plano
e acima pelo plano
, ou seja,
.
Portanto, para cada ponto
dentro da região definida pelo cilindro,
varia de 0 a
.
Passo 4
Vamos montar a integral tripla para calcular o volume
:
Primeiro, integramos em relação a
, depois em
, e por último em
.
Passo 5
Primeiro, integramos em
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em
:
Portanto, a integral se reduz a:
Passo 7
Vamos simplificar a integral:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Passo 9
Aplicando os limites de integração:
Passo 10
Calculando a diferença:
Multiplicando por 2:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine as equações em coordenadas cilíndricas para as superfícies dadas por:
a)
b)
a)
b)
Utilize coordenadas polares para calcular o volume do sólido limitado superiormente pelo hemisfério
(
esfera) e inferiormente pela região circular dada pela interseção do cilindro círcular com o plano
, isto é,
u.v.
Escreva a integral tripla
onde D é uma região no primeiro octante limitada pelo cone
pelo cilindro
e pelos planos coordenados
a) em coordenadas cartesianas
b) em coordenadas cilíndricas
c) em coordenadas esféricas
d) Calcule por um dos modos (o que achar mais conveniente e simples).
a) em coordenadas cartesianas
b) em coordenadas cilíndricas
c) em coordenadas esféricas
d) Calcule por um dos modos (o que achar mais conveniente e simples).
Dada uma Progressão Aritmética onde o primeiro termo é 23 e a razão é -6, qual a posição ocupada pelo elemento -13 ?