Determine o volume dos sólidos limitados pelo(s):
a) cilindro x = y^2 e pelos planos z = 0 e z + x = 1.
b) paraboloides z = 8 - x^2 - y^2 e z = x^2 + 3 y^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o volume de um sólido que é limitado por:
  • Um cilindro definido pela equação
  • Os planos e
Vamos usar cálculo integral para encontrar esse volume. Vamos precisar configurar os limites de integração com base nas equações fornecidas.

Passo 2

Vamos visualizar o cilindro . Este é um cilindro parabólico que se estende ao longo do eixo . Para encontrar os limites em e , observamos que varia de 0 a 1, já que e , então .
Então, para cada entre 0 e 1, varia de a .

Passo 3

Agora, vamos considerar a variação de . O sólido está limitado abaixo pelo plano e acima pelo plano , ou seja, .
Portanto, para cada ponto dentro da região definida pelo cilindro, varia de 0 a .

Passo 4

Vamos montar a integral tripla para calcular o volume :
Primeiro, integramos em relação a , depois em , e por último em .

Passo 5

Primeiro, integramos em :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em :
Portanto, a integral se reduz a:

Passo 7

Vamos simplificar a integral:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:

Passo 9

Aplicando os limites de integração:

Passo 10

Calculando a diferença:
Multiplicando por 2:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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