Determine o volume dos sólidos limitados pelo(s):
a) cilindro e pelos planos e .
b) paraboloides .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o volume de um sólido que é limitado por:
  • Um cilindro definido pela equação
  • Os planos e
Vamos usar cálculo integral para encontrar esse volume. Vamos precisar configurar os limites de integração com base nas equações fornecidas.

Passo 2

Vamos visualizar o cilindro . Este é um cilindro parabólico que se estende ao longo do eixo . Para encontrar os limites em e , observamos que varia de 0 a 1, já que e , então .
Então, para cada entre 0 e 1, varia de a .

Passo 3

Agora, vamos considerar a variação de . O sólido está limitado abaixo pelo plano e acima pelo plano , ou seja, .
Portanto, para cada ponto dentro da região definida pelo cilindro, varia de 0 a .

Passo 4

Vamos montar a integral tripla para calcular o volume :
Primeiro, integramos em relação a , depois em , e por último em .

Passo 5

Primeiro, integramos em :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em :
Portanto, a integral se reduz a:

Passo 7

Vamos simplificar a integral:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:

Passo 9

Aplicando os limites de integração:

Passo 10

Calculando a diferença:
Multiplicando por 2:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Determine as equações em coordenadas cilíndricas para as superfícies dadas por:
a)
b)
Utilize coordenadas polares para calcular o volume do sólido limitado superiormente pelo hemisfério ( esfera) e inferiormente pela região circular dada pela interseção do cilindro círcular com o plano , isto é, u.v.
Escreva a integral tripla onde D é uma região no primeiro octante limitada pelo cone pelo cilindro e pelos planos coordenados
a) em coordenadas cartesianas
b) em coordenadas cilíndricas
c) em coordenadas esféricas
d) Calcule por um dos modos (o que achar mais conveniente e simples).
Dada uma Progressão Aritmética onde o primeiro termo é 23 e a razão é -6, qual a posição ocupada pelo elemento -13 ?