Escreva o operador Hamiltoniano para uma partícula em uma caixa tridimensional, no qual a partícula experimenta uma energia potencial que é proporcional ao quadrado da distância da partícula até a origem do sistema (chame a constante de proporcionalidade de
).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos escrever o operador Hamiltoniano para uma partícula que está dentro de uma caixa tridimensional. Além disso, essa partícula tem uma energia potencial que é proporcional ao quadrado da distância dela até a origem do sistema, com uma constante de proporcionalidade chamada
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre o operador Hamiltoniano, que representa a energia total do sistema (energia cinética + energia potencial).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o operador Hamiltoniano (
) é a soma da energia cinética (
) e da energia potencial (
). Ou seja:
Passo 3
Vamos começar com a energia cinética. Em mecânica quântica, para uma partícula em três dimensões, o operador de energia cinética é dado por:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida e
é a massa da partícula.
Passo 4
Agora, vamos para a energia potencial. A questão diz que a energia potencial (
) é proporcional ao quadrado da distância da partícula até a origem. A distância até a origem em coordenadas tridimensionais é:
Assim, a energia potencial é:
Passo 5
Finalmente, juntando os operadores de energia cinética e potencial, temos o operador Hamiltoniano completo:
Resposta
O operador Hamiltoniano para a partícula na caixa tridimensional com a energia potencial proporcional ao quadrado da distância até a origem é: