Escreva o operador Hamiltoniano para uma partícula em uma caixa tridimensional, no qual a partícula experimenta uma energia potencial que é proporcional ao quadrado da distância da partícula até a origem do sistema (chame a constante de proporcionalidade de c ).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos escrever o operador Hamiltoniano para uma partícula que está dentro de uma caixa tridimensional. Além disso, essa partícula tem uma energia potencial que é proporcional ao quadrado da distância dela até a origem do sistema, com uma constante de proporcionalidade chamada c. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre o operador Hamiltoniano, que representa a energia total do sistema (energia cinética + energia potencial).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o operador Hamiltoniano ( H) é a soma da energia cinética ( T) e da energia potencial ( V). Ou seja:
H = T + V

Passo 3

Vamos começar com a energia cinética. Em mecânica quântica, para uma partícula em três dimensões, o operador de energia cinética é dado por:
T = -hbar^22m ( partial^2partial x^2 + partial^2partial y^2 + partial^2partial z^2 )
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida e m é a massa da partícula.

Passo 4

Agora, vamos para a energia potencial. A questão diz que a energia potencial ( V) é proporcional ao quadrado da distância da partícula até a origem. A distância até a origem em coordenadas tridimensionais é:
r = raizx^2 + y^2 + z^2
Assim, a energia potencial é:
V = c r^2 = c (x^2 + y^2 + z^2)

Passo 5

Finalmente, juntando os operadores de energia cinética e potencial, temos o operador Hamiltoniano completo:
H = -hbar^22m ( partial^2partial x^2 + partial^2partial y^2 + partial^2partial z^2 ) + c (x^2 + y^2 + z^2)

Resposta

O operador Hamiltoniano para a partícula na caixa tridimensional com a energia potencial proporcional ao quadrado da distância até a origem é:
H = -hbar^22m ( partial^2partial x^2 + partial^2partial y^2 + partial^2partial z^2 ) + c (x^2 + y^2 + z^2)

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