Na região do infravermelho distante, o espectro da molécula de H^79 Br apresenta uma série de linhas separadas por 16,72 cm^-1. Calcule:
A distância internuclear de equilíbrio para o HBr.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o espectro de infravermelho distante da molécula de HBr. O enunciado diz que há uma série de linhas espectrais separadas por 16,72 cm⁻¹. Nosso objetivo é calcular a distância internuclear de equilíbrio dessa molécula. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espectroscopia rotacional e física molecular, e vamos precisar entender como relacionar as linhas espectrais com a distância entre os átomos na molécula.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa separação de 16,72 cm⁻¹ entre as linhas espectrais. Na espectroscopia rotacional, essa separação está relacionada ao constante rotacional (B) da molécula. A constante rotacional nos dá informações sobre o momento de inércia da molécula, que por sua vez está ligado à distância entre os núcleos dos átomos.
A relação é a seguinte:
De
onde De é a separação entre as linhas espectrais. Então, podemos encontrar B dividindo a separação por 2.

Passo 3

Vamos calcular a constante rotacional B:
B = De
Agora que temos B, precisamos relacioná-la com o momento de inércia I da molécula. A fórmula que liga B e I é:
B = h8pi^2 c I
onde:
- h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 , J·s),
- c é a velocidade da luz ( 3,00 times 10^10 , cm/s),
- I é o momento de inércia.
Queremos encontrar I, então vamos reorganizar a fórmula:
I = h8pi^2 c B

Passo 4

Substituindo os valores na equação para I:
I = 6,626 times 10^-34 , J·s8 times pi^2 times 3,00 times 10^10 , cm/s times 8,36 , cm^-1
Antes de calcular, precisamos garantir que as unidades estejam consistentes. Vamos converter c para $ cm/s $ e cm/s para $ J·s $, que já estão corretas.

Passo 5

Agora, vamos calcular:
I = 6,626 times 10^-348 times pi^2 times 3,00 times 10^10 times 8,36
Calculando o denominador:
8 times pi^2 approx 8 times 9,87 = 78,96
78,96 times 3,00 times 10^10 times 8,36 approx 78,96 times 3 times 8,36 times 10^10
78,96 times 25,08 times 10^10 approx 1980 times 10^10 = 1,980 times 10^13
Então:
I = 6,626 times 10^-341,980 times 10^13 approx 3,35 times 10^-47 , kg·m^2

Passo 6

O momento de inércia I também pode ser escrito como:
I = mu r^2
onde:
- mu é a massa reduzida da molécula,
- r é a distância internuclear que queremos encontrar.
Primeiro, vamos calcular a massa reduzida mu. Para a molécula de HBr:
mu = mH times mBrmH + mBr
Assumindo:
  • Massa do hidrogênio ( mH) ≈ 1 , g/mol,
  • Massa do bromo ( mBr) ≈ 79 , g/mol (para H^79Br).
Convertendo para kg:
mu = 1 times 791 + 79 , g/mol = 7980 , g/mol = 0,9875 , g/mol
mu = 0,9875 times 10^-3 , kg/mol
Agora, precisamos converter para kg por molécula usando o número de Avogadro ( NA = 6,022 times 10^23 , mol^-1):
mu = 0,9875 times 10^-36,022 times 10^23 , kg
mu approx 1,639 times 10^-26 , kg

Passo 7

Agora, vamos encontrar a distância r usando:
I = mu r^2
r = raizImu
Substituindo os valores:
r = raiz3,35 times 10^-47 , kg·m^21,639 times 10^-26 , kg
r = raiz2,046 times 10^-21 , m^2
r approx 1,43 times 10^-10 , m
Convertendo para picômetros (1 m = 10^12 pm):
r approx 143 , pm

Resposta

A distância internuclear de equilíbrio para a molécula de HBr é aproximadamente 143 picômetros.

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