Na região do infravermelho distante, o espectro da molécula de
apresenta uma série de linhas separadas por
. Calcule:
A distância internuclear de equilíbrio para o HBr.
A distância internuclear de equilíbrio para o HBr.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o espectro de infravermelho distante da molécula de HBr. O enunciado diz que há uma série de linhas espectrais separadas por 16,72 cm⁻¹. Nosso objetivo é calcular a distância internuclear de equilíbrio dessa molécula. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espectroscopia rotacional e física molecular, e vamos precisar entender como relacionar as linhas espectrais com a distância entre os átomos na molécula.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa separação de 16,72 cm⁻¹ entre as linhas espectrais. Na espectroscopia rotacional, essa separação está relacionada ao constante rotacional (B) da molécula. A constante rotacional nos dá informações sobre o momento de inércia da molécula, que por sua vez está ligado à distância entre os núcleos dos átomos.
A relação é a seguinte:
onde
Passo 3
Vamos calcular a constante rotacional
:
Agora que temos
, precisamos relacioná-la com o momento de inércia
da molécula. A fórmula que liga
e
é:
onde:
-
-
-
Queremos encontrar
, então vamos reorganizar a fórmula:
Passo 4
Substituindo os valores na equação para
:
Antes de calcular, precisamos garantir que as unidades estejam consistentes. Vamos converter
para $ cm/s $ e
para $ J·s $, que já estão corretas.
Passo 5
Agora, vamos calcular:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 6
O momento de inércia
também pode ser escrito como:
onde:
-
-
Primeiro, vamos calcular a massa reduzida
. Para a molécula de HBr:
Assumindo:
- Massa do hidrogênio (
) ≈ , - Massa do bromo (
) ≈ (para ).
Convertendo para kg:
Agora, precisamos converter para kg por molécula usando o número de Avogadro (
):
Passo 7
Agora, vamos encontrar a distância
usando:
Substituindo os valores:
Convertendo para picômetros (1 m =
pm):
Resposta
A distância internuclear de equilíbrio para a molécula de HBr é aproximadamente 143 picômetros.