Determine a probabilidade de encontrar uma partícula, transladando em uma caixa unidimensional de tamanho L , nas seguintes regiões:
Entre L/4 e L/2
Entre L/4 e L/2
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a probabilidade de encontrar uma partícula que está se movendo dentro de uma caixa unidimensional de tamanho $ L $ nas regiões entre $ \frac{L}{4} $ e $ \frac{L}{2} $. Isso faz parte da matéria de Mecânica Quântica, especificamente sobre partículas em uma caixa quântica ou poço de potencial infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender a função de onda da partícula e como calcular a probabilidade a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em Mecânica Quântica, a posição de uma partícula é descrita por uma função de onda $ \psi(x) $. A probabilidade de encontrar a partícula entre duas posições $ a $ e $ b $ é dada pela integral do quadrado da função de onda nesse intervalo:
Passo 3
No caso da caixa unidimensional, assumimos que a caixa tem paredes infinitamente altas, o que significa que a função de onda é zero fora da caixa ($ 0 \leq x \leq L $). As soluções da função de onda para uma partícula nesse sistema são:
onde $ n $ é um número inteiro positivo que representa o nível de energia.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ |\psi_n(x)|^2 $:
Passo 5
A probabilidade de encontrar a partícula entre $ \frac{L}{4} $ e $ \frac{L}{2} $ é então:
Passo 6
Para resolver essa integral, usamos uma identidade trigonométrica:
Aplicando isso na integral:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos substituição:
onde $ a = \frac{2n\pi}{L} $. Assim:
Passo 8
Calculando os limites:
Então,
Passo 9
Substituindo de volta na expressão para $ P $:
Resposta
Então, a probabilidade de encontrar a partícula entre $ \frac{L}{4} $ e $ \frac{L}{2} $ é: