Determine a probabilidade de encontrar uma partícula, transladando em uma caixa unidimensional de tamanho L , nas seguintes regiões:
Entre L/4 e L/2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a probabilidade de encontrar uma partícula que está se movendo dentro de uma caixa unidimensional de tamanho $ L $ nas regiões entre $ \frac{L}{4} $ e $ \frac{L}{2} $. Isso faz parte da matéria de Mecânica Quântica, especificamente sobre partículas em uma caixa quântica ou poço de potencial infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender a função de onda da partícula e como calcular a probabilidade a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em Mecânica Quântica, a posição de uma partícula é descrita por uma função de onda $ \psi(x) $. A probabilidade de encontrar a partícula entre duas posições $ a $ e $ b $ é dada pela integral do quadrado da função de onda nesse intervalo:
psi(x)

Passo 3

No caso da caixa unidimensional, assumimos que a caixa tem paredes infinitamente altas, o que significa que a função de onda é zero fora da caixa ($ 0 \leq x \leq L $). As soluções da função de onda para uma partícula nesse sistema são:
0 <= x <= L
onde $ n $ é um número inteiro positivo que representa o nível de energia.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ |\psi_n(x)|^2 $:
|psin(x)|^2

Passo 5

A probabilidade de encontrar a partícula entre $ \frac{L}{4} $ e $ \frac{L}{2} $ é então:
L4

Passo 6

Para resolver essa integral, usamos uma identidade trigonométrica:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2
Aplicando isso na integral:
P = integralL4^L2 2L cdot 1 - cos(2npi xL)2 dx = 1L integralL4^L2 (1 - cos(2npi xL)) dx

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
P = 1L [ integralL4^L2 1 , dx - integralL4^L2 cos(2npi xL) dx ]
A primeira integral é simples:
integralL4^L2 1 , dx = L2 - L4 = L4
Para a segunda integral, usamos substituição:
integral cos(ax) dx = sin(ax)a + C
onde $ a = \frac{2n\pi}{L} $. Assim:
a = 2npiL

Passo 8

Calculando os limites:
sin(2npi cdot L2L) = sin(npi) = 0
sin(2npi cdot L4L) = sin(npi2)
Então,
integralL4^L2 cos(2npi xL) dx = L2npi (0 - sin(npi2)) = -L2npi sin(npi2)

Passo 9

Substituindo de volta na expressão para $ P $:
P

Resposta

Então, a probabilidade de encontrar a partícula entre $ \frac{L}{4} $ e $ \frac{L}{2} $ é:
L4

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