Determine alpha in e beta in tais que
lim x infty(2 x^beta-3 x+1x^3+1-alpha x^2)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de limites onde precisamos encontrar os valores de lim x infty(2 x^beta-3 x+1x^3+1-alpha x^2)=0 e que fazem com que o limite seja zero. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com limites no infinito e análise de termos dominantes. Para resolver isso, vamos identificar quais termos são mais importantes à medida que cresce muito, e ajustar e para que tudo se anule no final.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada termo quando 2x^beta - 3x + 1 vai para o infinito.
No numerador da fração:
x^3 + 1
À medida que 2x^betax^3 = 2x^beta - 3 aumenta, o termo vai dominar, especialmente se for a maior potência.
No denominador:
Aqui, é o termo dominante.
Então, a fração principal fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão do limite:
2x^beta - 3 - alpha x^2
Queremos que, quando vai para o infinito, essa expressão seja igual a zero. Para isso, os termos com maiores potências de precisam se anular.
Observamos que temos dois termos:
Para que esses dois termos se cancelem, suas potências de devem ser iguais, e os coeficientes devem somar zero.

Passo 4

Igualando as potências:
beta - 3 = 2 Rightarrow beta = 5
Com 2x^2 - alpha x^2 , a expressão fica:
2 - alpha = 0 Rightarrow alpha = 2
Agora, queremos que os coeficientes se cancelem:

Resposta

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