Determine e tais que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de limites onde precisamos encontrar os valores de e que fazem com que o limite seja zero. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com limites no infinito e análise de termos dominantes. Para resolver isso, vamos identificar quais termos são mais importantes à medida que cresce muito, e ajustar e para que tudo se anule no final.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada termo quando vai para o infinito.
No numerador da fração:
À medida que aumenta, o termo vai dominar, especialmente se for a maior potência.
No denominador:
Aqui, é o termo dominante.
Então, a fração principal fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão do limite:
Queremos que, quando vai para o infinito, essa expressão seja igual a zero. Para isso, os termos com maiores potências de precisam se anular.
Observamos que temos dois termos:
Para que esses dois termos se cancelem, suas potências de devem ser iguais, e os coeficientes devem somar zero.

Passo 4

Igualando as potências:
Com , a expressão fica:
Agora, queremos que os coeficientes se cancelem:

Resposta

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Calcule
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Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
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Avalie o limite
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Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
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