Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
da região delimitada pelas curvas
e
, onde
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrarmos o volume do sólido que resulta da rotação da região delimitada pelas curvas
e
, entre
, em torno do eixo
. Isso está relacionado ao cálculo de volumes por meio de integrais, especificamente usando o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas envolvidas. A curva
é uma função trigonométrica que varia entre -1 e 1. No intervalo dado,
a
, o seno vai de 1 a 0. A outra curva é
, que é simplesmente o eixo
.
Passo 3
Quando giramos a região entre essas curvas em torno do eixo
, cada pequeno pedaço dessa região forma um disco. O volume total será a soma desses discos ao longo do intervalo de
.
Passo 4
Para calcular o volume usando o método dos discos, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
,
e
.
Passo 5
Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, usamos uma identidade trigonométrica para simplificar:
Passo 7
Substituindo na integral:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Passo 9
Agora, aplicamos os limites de integração:
Sabemos que
e
, então:
Passo 10
Portanto, o volume é:
Resposta
O volume do sólido formado é
unidades cúbicas.