Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pelas curvas y = sen x e y = 0, onde pi / 2 <= x <= pi.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrarmos o volume do sólido que resulta da rotação da região delimitada pelas curvas e , entre , em torno do eixo . Isso está relacionado ao cálculo de volumes por meio de integrais, especificamente usando o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas envolvidas. A curva é uma função trigonométrica que varia entre -1 e 1. No intervalo dado, a , o seno vai de 1 a 0. A outra curva é , que é simplesmente o eixo .

Passo 3

Quando giramos a região entre essas curvas em torno do eixo , cada pequeno pedaço dessa região forma um disco. O volume total será a soma desses discos ao longo do intervalo de .

Passo 4

Para calcular o volume usando o método dos discos, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, , e .

Passo 5

Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, usamos uma identidade trigonométrica para simplificar:

Passo 7

Substituindo na integral:

Passo 8

Vamos calcular a integral:

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração:
Sabemos que e , então:

Passo 10

Portanto, o volume é:

Resposta

O volume do sólido formado é unidades cúbicas.

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