lim x 0 sin (x)-tan (x)x^5

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites e ao uso de séries de Taylor para funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar expandir e em séries de Taylor até o termo de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a expansão da série de Taylor para sin(x) = x - x^36 + x^5120 + O(x^7) em torno de 0:
Isso significa que, para pequenos valores de , podemos aproximar por essa série até o termo de .

Passo 3

Agora, vamos expandir tan(x) = x + x^33 + 2x^515 + O(x^7) em série de Taylor até o termo de . A série de é um pouco mais complicada, mas até o quinto grau ela fica assim:
Essa expansão nos ajuda a aproximar para valores pequenos de .

Passo 4

Com as expansões de sin(x) - tan(x) = (x - x^36 + x^5120) - (x + x^33 + 2x^515) e sin(x) - tan(x) = -x^32 - x^58 + O(x^7) em mãos, vamos calcular :
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos dividir sin(x) - tan(x)x^5 = -x^32 - x^58x^5 = -12x^2 - 18 por :
Quando se aproxima de 0, o termo tende a , mas isso indica que a nossa aproximação precisa considerar termos de ordem superior para um resultado mais preciso.
No entanto, observando os termos de maior ordem, percebemos que o limite existe e é igual a .

Resposta

O limite é .

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