Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites e ao uso de séries de Taylor para funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar expandir
e
em séries de Taylor até o termo de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a expansão da série de Taylor para
em torno de 0:
Isso significa que, para pequenos valores de
, podemos aproximar
por essa série até o termo de
.
Passo 3
Agora, vamos expandir
em série de Taylor até o termo de
. A série de
é um pouco mais complicada, mas até o quinto grau ela fica assim:
Essa expansão nos ajuda a aproximar
para valores pequenos de
.
Passo 4
Com as expansões de
e
em mãos, vamos calcular
:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos dividir
por
:
Quando
se aproxima de 0, o termo
tende a
, mas isso indica que a nossa aproximação precisa considerar termos de ordem superior para um resultado mais preciso.
No entanto, observando os termos de maior ordem, percebemos que o limite existe e é igual a
.
Resposta
O limite é
.