Resolva o PVI lX^prime=[ll2 & 3 3 & 2] X X(0)=[c3 -1].
Resp X=[c 2 -2 ] e^-t+[l 1 1 ] e^5 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que o exercício te deu. Básicamente, temos uma equação do tipo 2 & 3 3 & 2 , onde 3 -1 é uma matriz e a condição inicial . O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas de equações lineares com coeficientes constantes, e vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de det( 2 - lambda & 3 3 & 2 - lambda ) = (2 - lambda)^2 - 9 = lambda^2 - 4lambda - 5 = 0 que satisfazem a equação característica:
lambda = 4 pm raiz(4)^2 + 202 = 4 pm raiz362 = 4 pm 62
Onde é a matriz identidade. Então, calculamos:
Resolvendo a equação quadrática , encontramos os autovalores:
Então, os autovalores são e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para 2-5 & 3 3 & 2-5 v1 v2 = -3 & 3 3 & -3 v1 v2 = 0 :
Resolvemos 1 1 :
2+1 & 3 3 & 2+1 v1 v2 = 3 & 3 3 & 3 v1 v2 = 0
Isso dá a equação 1 -1 , ou seja, . Podemos escolher .
Para :
Resolvemos :
Isso dá a equação , ou seja, . Podemos escolher .

Passo 4

Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Para cada autovalor X(t) = c1 v^(1) e^lambda1 t + c2 v^(2) e^lambda2 t e autovetor X(t) = c1 1 1 e^5t + c2 1 -1 e^-t , a solução é da forma:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial 3 -1 para encontrar os coeficientes 3 -1 = c1 1 1 + c2 1 -1 e c1 + c2 = 3 c1 - c2 = -1 .
Substituindo 2c1 = 2 Rightarrow c1 = 1 :
1 + c2 = 3 Rightarrow c2 = 2
Isso dá o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo em :

Resposta

Substituindo X(t) = 1 1 e^5t + 2 -2 e^-t e na solução geral, temos:

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