Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever uma solução tentativa usando o método dos coeficientes indeterminados para a equação diferencial . Isso significa que vamos propor formas para a solução particular da equação sem ainda determinar os coeficientes que vão aparecer nas funções que vamos usar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos do lado direito da equação, que são e . Cada um desses termos vai exigir uma forma específica para a solução tentativa.

Passo 3

Para o termo , sabemos que uma solução tentativa costuma ser algo parecido com o próprio termo. Então, vamos propor uma função do tipo:
Aqui, é um coeficiente que a gente vai determinar depois.

Passo 4

Agora, para o termo , a coisa fica um pouco mais complicada porque envolve um polinômio multiplicado por uma função trigonométrica. Nesse caso, a solução tentativa vai precisar incluir termos semelhantes, mas multiplicados por polinômios para capturar a parte . Então, propomos:
Aqui, e são os coeficientes que vamos determinar depois.

Passo 5

Finalmente, a solução particular tentativa da equação toda é a soma das duas soluções que propusemos:
Substituindo as expressões que encontramos:
Essa é a nossa solução tentativa usando o método dos coeficientes indeterminados, sem ainda determinar os valores dos coeficientes e .

Resposta

A solução tentativa é:
onde e são coeficientes a serem determinados posteriormente.

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Resolva a equação diferencial usando (a) coeficientes indeterminados e (b) variação dos parâmetros.
Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.
Prove que se existem e , com e , então existe
Dica: use a definição de diferenciabilidade em .
Mostre que para todo . Dica: use a fórmula de Taylor de ordem 2 para .