Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever uma solução tentativa usando o método dos coeficientes indeterminados para a equação diferencial
. Isso significa que vamos propor formas para a solução particular da equação sem ainda determinar os coeficientes que vão aparecer nas funções que vamos usar.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os termos do lado direito da equação, que são
e
. Cada um desses termos vai exigir uma forma específica para a solução tentativa.
Passo 3
Para o termo
, sabemos que uma solução tentativa costuma ser algo parecido com o próprio termo. Então, vamos propor uma função do tipo:
Aqui,
é um coeficiente que a gente vai determinar depois.
Passo 4
Agora, para o termo
, a coisa fica um pouco mais complicada porque envolve um polinômio multiplicado por uma função trigonométrica. Nesse caso, a solução tentativa vai precisar incluir termos semelhantes, mas multiplicados por polinômios para capturar a parte
. Então, propomos:
Aqui,
e
são os coeficientes que vamos determinar depois.
Passo 5
Finalmente, a solução particular tentativa da equação toda é a soma das duas soluções que propusemos:
Substituindo as expressões que encontramos:
Essa é a nossa solução tentativa usando o método dos coeficientes indeterminados, sem ainda determinar os valores dos coeficientes
e
.
Resposta
A solução tentativa é:
onde
e
são coeficientes a serem determinados posteriormente.
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Resolva a equação diferencial usando (a) coeficientes indeterminados e (b) variação dos parâmetros.
Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.
Prove que se existem
e
, com
e
, então existe
Dica: use a definição de diferenciabilidade em
.
Mostre que
para todo
. Dica: use a fórmula de Taylor de ordem 2 para
.