Resolva a equação diferencial usando (a) coeficientes indeterminados e (b) variação dos parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Vamos precisar conhecer os métodos de coeficientes indeterminados e variação dos parâmetros para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, suponha uma solução da forma . Substituindo na equação, temos:
Dividindo por , que nunca é zero, ficamos com:
Aqui, é a unidade imaginária.

Passo 3

Com raízes complexas , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. Como o membro do lado direito é , tentamos uma solução na forma:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Substituindo e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 6

Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Então, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial usando coeficientes indeterminados é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 8

Agora, vamos resolver a mesma equação usando o método da variação dos parâmetros. Sabemos que a solução homogênea é:
Vamos procurar uma solução particular na forma:
onde e são funções a serem determinadas.

Passo 9

Calculamos as derivadas de :
Para simplificar, impomos a condição:
Assim, a derivada fica:

Passo 10

Calculamos a segunda derivada e substituímos na equação diferencial:
Após os cálculos, obtemos um sistema de equações para e :

Passo 11

Integrando para encontrar e :
Desconsiderando as constantes de integração (já que estão incorporadas na solução homogênea), temos:

Passo 12

Substituindo e na expressão para :
Simplificando utilizando identidades trigonométricas:
Entretanto, percebemos que há uma inconsistência, então ajustamos a solução particular para:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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