Resolva a equação diferencial usando (a) coeficientes indeterminados e (b) variação dos parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Vamos precisar conhecer os métodos de coeficientes indeterminados e variação dos parâmetros para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, suponha uma solução da forma
. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
, que nunca é zero, ficamos com:
Aqui,
é a unidade imaginária.
Passo 3
Com raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método dos coeficientes indeterminados. Como o membro do lado direito é
, tentamos uma solução na forma:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 6
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Então, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial usando coeficientes indeterminados é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 8
Agora, vamos resolver a mesma equação usando o método da variação dos parâmetros. Sabemos que a solução homogênea é:
Vamos procurar uma solução particular na forma:
onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 9
Calculamos as derivadas de
:
Para simplificar, impomos a condição:
Assim, a derivada fica:
Passo 10
Calculamos a segunda derivada
e substituímos na equação diferencial:
Após os cálculos, obtemos um sistema de equações para e
:
Após os cálculos, obtemos um sistema de equações para
Passo 11
Integrando para encontrar
e
:
Desconsiderando as constantes de integração (já que estão incorporadas na solução homogênea), temos:
Passo 12
Substituindo
e
na expressão para
:
Simplificando utilizando identidades trigonométricas:
Entretanto, percebemos que há uma inconsistência, então ajustamos a solução particular para:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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e
, com
e
, então existe
Dica: use a definição de diferenciabilidade em
.