Prove que se existem f^prime(x) e g^prime(x), com g^prime(x) neq 0 e f(x)=g(x)=0, então existe
lim t x f(t)g(t)=f^prime(x)g^prime(x)
Dica: use a definição de diferenciabilidade em x.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos duas funções, e , que são diferenciáveis em um ponto . Sabemos que e nesse ponto, e que a derivada de em , , não é zero. O conteúdo que vamos usar envolve limites, derivadas e a definição de diferenciabilidade. Precisaremos aplicar a definição de derivada para resolver essa prova.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de diferenciabilidade. Uma função h(t) = h(x) + h'(x)(t - x) + o(t - x) é diferenciável em se existe tal que:
Onde representa um termo que tende a zero mais rapidamente que quando se aproxima de .

Passo 3

Aplicando essa definição às funções f(t) = f(x) + f'(x)(t - x) + o(t - x) e g(t) = g(x) + g'(x)(t - x) + o(t - x) , temos:
f(t) = f'(x)(t - x) + o(t - x)
g(t) = g'(x)(t - x) + o(t - x)
Sabemos que e , então simplificamos:

Passo 4

Vamos agora formar a razão f(t)g(t) = f'(x)(t - x) + o(t - x)g'(x)(t - x) + o(t - x) :
f(t)g(t) = (t - x)(f'(x) + o(t - x)t - x)(t - x)(g'(x) + o(t - x)t - x)
Podemos fatorar f(t)g(t) = f'(x) + o(t - x)t - xg'(x) + o(t - x)t - x no numerador e denominador:
Cancelando , que é diferente de zero quando :

Passo 5

Quando limt to x f(t)g(t) = f'(x) + 0g'(x) + 0 = f'(x)g'(x) se aproxima de , o termo tende a zero, pois é negligenciável em comparação com . Portanto, podemos simplificar a expressão:

Resposta

limt x f(t)g(t) = f^prime(x)g^prime(x)

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