Prove que se existem
e
, com
e
, então existe
Dica: use a definição de diferenciabilidade em
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos duas funções,
e
, que são diferenciáveis em um ponto
. Sabemos que
e
nesse ponto, e que a derivada de
em
,
, não é zero. O conteúdo que vamos usar envolve limites, derivadas e a definição de diferenciabilidade. Precisaremos aplicar a definição de derivada para resolver essa prova.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de diferenciabilidade. Uma função
é diferenciável em
se existe
tal que:
Onde
representa um termo que tende a zero mais rapidamente que
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Aplicando essa definição às funções
e
, temos:
Sabemos que
e
, então simplificamos:
Passo 4
Vamos agora formar a razão
:
Podemos fatorar
no numerador e denominador:
Cancelando
, que é diferente de zero quando
:
Passo 5
Quando
se aproxima de
, o termo
tende a zero, pois
é negligenciável em comparação com
. Portanto, podemos simplificar a expressão: