Mostre que
para todo
. Dica: use a fórmula de Taylor de ordem 2 para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que
para todo número real
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Taylor de ordem 2 para a função
centrada em
. Basicamente, a fórmula de Taylor nos ajuda a aproximar funções usando polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula de Taylor de ordem 2 para uma função
em torno de
:
No nosso caso,
. Vamos calcular as derivadas necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas de
:
Agora, avaliamos essas derivadas em
:
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula de Taylor de ordem 2:
Essa aproximação nos mostra que
é a segunda ordem da expansão de Taylor de
em torno de 0.
Passo 5
Agora, para garantir que
para todo
, precisamos considerar o termo de erro na aproximação de Taylor. A fórmula completa com o termo de erro é:
Onde
é o resto ou erro da aproximação.
Passo 6
Para a função
, o termo de erro na fórmula de Taylor de ordem 2 é dado por:
Para algum
entre 0 e
. Calculando
:
Então,
Passo 7
Observando que
para todo
, temos:
Isso significa que o erro
é positivo ou negativo dependendo de
, mas seu valor absoluto é limitado por
.
Passo 8
Para
próximo de 0, o termo
é pequeno, e a aproximação
fica muito próxima de
. Além disso, para todos os
, a função
está sempre acima da parábola
, garantindo que:
Resposta
Assim, mostramos que
para todo
.
Exercícios relacionados
Prove que se existem
e
, com
e
, então existe
Dica: use a definição de diferenciabilidade em
.
Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.
Usando diretamente a definição de diferenciabilidade mostre que são diferenciáveis as funções
e
. Usando diferenciabilidade das operações aritméticas conclua que
, para
e conclua que toda função polinomial é diferenciável (portanto contínua).
Seja
uma função diferenciável com
para todo
. Defina
e mostre que é possível escolher
suficientemente pequeno para que
seja uma função bijetiva. Dica: mostre que
é diferenciável, e que
que é positivo, portanto
será monótona crescente e consequentemente bijetiva.