Mostre que para todo . Dica: use a fórmula de Taylor de ordem 2 para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que para todo número real . Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Taylor de ordem 2 para a função centrada em . Basicamente, a fórmula de Taylor nos ajuda a aproximar funções usando polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula de Taylor de ordem 2 para uma função em torno de :
No nosso caso, . Vamos calcular as derivadas necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas de :
Agora, avaliamos essas derivadas em :

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula de Taylor de ordem 2:
Essa aproximação nos mostra que é a segunda ordem da expansão de Taylor de em torno de 0.

Passo 5

Agora, para garantir que para todo , precisamos considerar o termo de erro na aproximação de Taylor. A fórmula completa com o termo de erro é:
Onde é o resto ou erro da aproximação.

Passo 6

Para a função , o termo de erro na fórmula de Taylor de ordem 2 é dado por:
Para algum entre 0 e . Calculando :
Então,

Passo 7

Observando que para todo , temos:
Isso significa que o erro é positivo ou negativo dependendo de , mas seu valor absoluto é limitado por .

Passo 8

Para próximo de 0, o termo é pequeno, e a aproximação fica muito próxima de . Além disso, para todos os , a função está sempre acima da parábola , garantindo que:

Resposta

Assim, mostramos que para todo .

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Dica: use a definição de diferenciabilidade em .
Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.
Usando diretamente a definição de diferenciabilidade mostre que são diferenciáveis as funções e . Usando diferenciabilidade das operações aritméticas conclua que , para e conclua que toda função polinomial é diferenciável (portanto contínua).
Seja uma função diferenciável com para todo . Defina e mostre que é possível escolher suficientemente pequeno para que seja uma função bijetiva. Dica: mostre que é diferenciável, e que que é positivo, portanto será monótona crescente e consequentemente bijetiva.