Escreva todas as derivadas parciais segundas possíveis de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer listar todas as derivadas parciais segundas possíveis de uma função . Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas de funções de várias variáveis e como combinar essas derivadas para obter as segundas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função muda quando uma das suas variáveis muda, mantendo as outras constantes. Por exemplo, a derivada parcial de em relação a é escrita como e mostra como varia quando varia, com e fixos.

Passo 3

Agora, para encontrar as derivadas parciais segundas, vamos derivar novamente as derivadas parciais que já calculamos. Isso significa que vamos derivar, por exemplo, em relação a , , e . Fazendo isso para todas as combinações possíveis, conseguiremos todas as derivadas parciais segundas da função.

Passo 4

Vamos listar todas as possíveis combinações de derivadas parciais segundas para :
  1. Derivadas parciais em relação a uma única variável duas vezes:
  2. Derivadas parciais mistas, ou seja, derivar em relação a duas variáveis diferentes:
E, por simetria das derivadas parciais mistas, também temos:

Resposta

As derivadas parciais segundas de são:

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