Escreva todas as derivadas parciais segundas possíveis de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer listar todas as derivadas parciais segundas possíveis de uma função
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas de funções de várias variáveis e como combinar essas derivadas para obter as segundas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função muda quando uma das suas variáveis muda, mantendo as outras constantes. Por exemplo, a derivada parcial de
em relação a
é escrita como
e mostra como
varia quando
varia, com
e
fixos.
Passo 3
Agora, para encontrar as derivadas parciais segundas, vamos derivar novamente as derivadas parciais que já calculamos. Isso significa que vamos derivar, por exemplo,
em relação a
,
, e
. Fazendo isso para todas as combinações possíveis, conseguiremos todas as derivadas parciais segundas da função.
Passo 4
Vamos listar todas as possíveis combinações de derivadas parciais segundas para
:
-
Derivadas parciais em relação a uma única variável duas vezes:
-
-
Derivadas parciais mistas, ou seja, derivar em relação a duas variáveis diferentes:
-
E, por simetria das derivadas parciais mistas, também temos:
Resposta
As derivadas parciais segundas de
são:
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