Demonstre as propriedades da multiplicação por escalar apresentadas.
Passo 1
Vamos resumir o que temos aqui: precisamos demonstrar as propriedades da multiplicação por escalar. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, e para resolver isso, vamos precisar entender como os vetores e os escalares interagem na multiplicação. Basicamente, vamos mostrar que certas regras valem quando multiplicamos um vetor por um número real.
Passo 2
Propriedade 1: Distribuição do escalar sobre a soma de vetores
Queremos mostrar que:
Como resolver:
Vamos multiplicar o escalar pela soma dos vetores
e
e ver se isso é igual à soma das multiplicações individuais.
Vamos multiplicar o escalar
Passo 3
Propriedade 2: Distribuição da soma de escalares sobre um vetor
Queremos mostrar que:
Como resolver:
Vamos multiplicar a soma dos escalares pelo vetor
e verificar se isso é igual à soma das multiplicações individuais dos escalares por
.
Vamos multiplicar a soma dos escalares
Passo 4
Propriedade 3: Associatividade da multiplicação por escalar
Queremos mostrar que:
Como resolver:
Vamos multiplicar o vetor pelo escalar
primeiro e depois multiplicar o resultado por
, e comparar isso com multiplicar
diretamente pelo produto
.
Vamos multiplicar o vetor
Passo 5
Propriedade 4: Multiplicação por 1
Queremos mostrar que:
Como resolver:
Basta multiplicar o vetor pelo escalar 1 e verificar se o resultado é o próprio vetor
.
Basta multiplicar o vetor
Resposta
Demonstramos que todas as propriedades da multiplicação por escalar são válidas: