Escreva v como soma de v1 e v2, sendo v1 | u e v2 perp u
(a) u=(1,2,-2), v=(3,-1,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente escrever o vetor v como a soma de dois vetores: v1 e v2. Aí, tem umas condições: v1 tem que ser paralela a u e v2 tem que ser perpendicular a u. Isso envolve conceitos de decomposição vetorial e projeção de vetores. Vamos precisar usar a fórmula de projeção para achar v1 e depois calcular v2 subtraindo v1 de v.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar v1, que é a projeção de v sobre u. A fórmula da projeção é:
v1 = ( v cdot uu cdot u ) u
Aqui, o “ponto” ( cdot) representa o produto escalar entre os vetores. Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar v cdot u:
v cdot u = (3)(1) + (-1)(2) + (2)(-2) = 3 - 2 - 4 = -3
Agora, o produto escalar u cdot u:
u cdot u = (1)^2 + (2)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9

Passo 4

Com esses valores, podemos achar v1:
v1 = ( -39 ) u = -13 u = -13(1, 2, -2) = ( -13, -23, 23 )

Passo 5

Agora que temos v1, vamos encontrar v2 subtraindo v1 de v:
v2 = v - v1 = ( 3, -1, 2 ) - ( -13, -23, 23 ) = ( 3 + 13, -1 + 23, 2 - 23 )
Simplificando:
v2 = ( 103, -13, 43 )

Resposta

Portanto, a decomposição de v é:
v = v1 + v2 = ( -13, -23, 23 ) + ( 103, -13, 43 )

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