Se a matriz
cujos autovalores são todos diferentes de zero, então
é não singular.
Passo 1
Resumo do Enunciado: Vamos mostrar que se uma matriz quadrada
de ordem
tem todos os seus autovalores diferentes de zero, então ela é não singular, ou seja, tem uma inversa.
Conteúdo da Matéria: Matrizes, autovalores, determinante e propriedades de matrices singulares e não singulares.
O que Vamos Precisar: Entender o que significa uma matriz ser singular ou não, como os autovalores se relacionam com o determinante da matriz, e como isso afeta a invertibilidade da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser singular ou não singular. Uma matriz é singular se ela não possui inversa, e isso acontece exatamente quando o seu determinante é zero. Por outro lado, uma matriz é não singular (ou invertível) se o seu determinante é diferente de zero.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre autovalores. Os autovalores de uma matriz
são os valores
que satisfazem a equação:
Onde
é a matriz identidade da mesma ordem de
. Os autovalores nos dão informações importantes sobre a matriz, incluindo o seu determinante.
Passo 4
Uma propriedade importante é que o determinante de uma matriz quadrada
pode ser calculado como o produto dos seus autovalores. Ou seja, se os autovalores de
são
, então:
Passo 5
Dado que todos os autovalores de
são diferentes de zero, o produto desses autovalores também será diferente de zero. Portanto:
Resposta
Como o determinante de
é diferente de zero, concluímos que a matriz
é não singular, ou seja, tem uma inversa.