Se a matriz n times n cujos autovalores são todos diferentes de zero, então A é não singular.

Passo 1

Resumo do Enunciado: Vamos mostrar que se uma matriz quadrada A de ordem n times n tem todos os seus autovalores diferentes de zero, então ela é não singular, ou seja, tem uma inversa.
Conteúdo da Matéria: Matrizes, autovalores, determinante e propriedades de matrices singulares e não singulares.
O que Vamos Precisar: Entender o que significa uma matriz ser singular ou não, como os autovalores se relacionam com o determinante da matriz, e como isso afeta a invertibilidade da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser singular ou não singular. Uma matriz é singular se ela não possui inversa, e isso acontece exatamente quando o seu determinante é zero. Por outro lado, uma matriz é não singular (ou invertível) se o seu determinante é diferente de zero.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre autovalores. Os autovalores de uma matriz A são os valores lambda que satisfazem a equação:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade da mesma ordem de A. Os autovalores nos dão informações importantes sobre a matriz, incluindo o seu determinante.

Passo 4

Uma propriedade importante é que o determinante de uma matriz quadrada A pode ser calculado como o produto dos seus autovalores. Ou seja, se os autovalores de A são lambda1, lambda2, ldots, lambdan, então:
det(A) = lambda1 times lambda2 times ldots times lambdan

Passo 5

Dado que todos os autovalores de A são diferentes de zero, o produto desses autovalores também será diferente de zero. Portanto:
det(A) neq 0

Resposta

Como o determinante de A é diferente de zero, concluímos que a matriz A é não singular, ou seja, tem uma inversa.

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