a) Escreva o vetor aceleração em termos das componentes radial e tangencial nesse instante;
b) Quais são a amplitude e a direção da aceleração total nesse instante?;
c) Em que ponto a aceleração radial é máxima?
b) Quais são a amplitude e a direção da aceleração total nesse instante?;
c) Em que ponto a aceleração radial é máxima?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para trabalharmos com o vetor aceleração, especificamente suas componentes radial e tangencial. Vamos precisar entender um pouco sobre movimento em coordenadas polares e como decompor forças em direções radiais e tangenciais para conseguir expressar a aceleração dessa forma. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em movimento circular ou em coordenadas polares, a aceleração pode ser dividida em duas partes: a aceleração radial (ou centrípeta) e a aceleração tangencial.
A aceleração radial está relacionada à mudança na direção da velocidade e aponta para o centro da curva. Ela é dada por:
onde
é a velocidade tangencial e
é o raio da trajetória.
A aceleração tangencial está relacionada à mudança na magnitude da velocidade. Ela é dada por:
Então, o vetor aceleração total
pode ser escrito como a soma dessas duas componentes:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b) da questão. Queremos encontrar a magnitude e a direção da aceleração total.
A magnitude da aceleração total é obtida usando o teorema de Pitágoras, já que as componentes radial e tangencial são perpendiculares:
Para a direção, podemos calcular o ângulo
que a aceleração faz com a direção radial usando a tangente:
Então,
Isso nos dá o ângulo em relação à direção radial.
Passo 4
Finalmente, vamos para a parte c). Queremos saber em que ponto a aceleração radial é máxima.
Observando a fórmula da aceleração radial:
Vemos que
aumenta à medida que a velocidade
aumenta ou o raio
diminui. Portanto, a aceleração radial é máxima no ponto onde a velocidade tangencial é maximizada e o raio da trajetória é mínimo. Dependendo do contexto do problema (como uma partícula em movimento em uma trajetória específica), devemos identificar esses pontos máximos de velocidade e mínimos de raio para determinar onde
alcança seu valor máximo.
Resposta
a) O vetor aceleração é
, onde
e
.
b) A magnitude da aceleração total é
e a direção forma um ângulo
em relação à direção radial.
c) A aceleração radial é máxima no ponto onde a velocidade tangencial é máxima e o raio da trajetória é mínimo.
Exercícios relacionados
No hexágono regular, obter:
Analise as proposições a seguir:
(01) A velocidade vetorial média entre dois pontos de uma trajetória tem sempre a mesma direção e o mesmo sentido do deslocamento vetorial entre esses pontos.
(02) A velocidade vetorial é, em cada instante, tangente à trajetória e orientada no sentido do movimento.
(04) Nos movimentos uniformes, a velocidade vetorial é constante.
(08) Nos movimentos retilíneos, a velocidade vetorial é constante.
(16) A velocidade vetorial de uma partícula só é constante nas situações de repouso e de movimento retilíneo e uniforme. Dê como resposta a soma dos números associados às proposições corretas.
(01) A velocidade vetorial média entre dois pontos de uma trajetória tem sempre a mesma direção e o mesmo sentido do deslocamento vetorial entre esses pontos.
(02) A velocidade vetorial é, em cada instante, tangente à trajetória e orientada no sentido do movimento.
(04) Nos movimentos uniformes, a velocidade vetorial é constante.
(08) Nos movimentos retilíneos, a velocidade vetorial é constante.
(16) A velocidade vetorial de uma partícula só é constante nas situações de repouso e de movimento retilíneo e uniforme. Dê como resposta a soma dos números associados às proposições corretas.
Agora, se P fosse nulo, qual deveria ser o ângulo
para que o escorregamento fosse impedido?