a) Escreva o vetor aceleração em termos das componentes radial e tangencial nesse instante;
b) Quais são a amplitude e a direção da aceleração total nesse instante?;
c) Em que ponto a aceleração radial é máxima?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para trabalharmos com o vetor aceleração, especificamente suas componentes radial e tangencial. Vamos precisar entender um pouco sobre movimento em coordenadas polares e como decompor forças em direções radiais e tangenciais para conseguir expressar a aceleração dessa forma. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em movimento circular ou em coordenadas polares, a aceleração pode ser dividida em duas partes: a aceleração radial (ou centrípeta) e a aceleração tangencial.
A aceleração radial está relacionada à mudança na direção da velocidade e aponta para o centro da curva. Ela é dada por:
ar = v^2r
onde at = dvdt é a velocidade tangencial e a = ar r + at theta é o raio da trajetória.
A aceleração tangencial está relacionada à mudança na magnitude da velocidade. Ela é dada por:
Então, o vetor aceleração total pode ser escrito como a soma dessas duas componentes:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b) da questão. Queremos encontrar a magnitude e a direção da aceleração total.
A magnitude da aceleração total é obtida usando o teorema de Pitágoras, já que as componentes radial e tangencial são perpendiculares:
|a| = raizar^2 + at^2
Para a direção, podemos calcular o ângulo tan(alpha) = atar que a aceleração faz com a direção radial usando a tangente:
alpha = arctan(atar)
Então,
Isso nos dá o ângulo em relação à direção radial.

Passo 4

Finalmente, vamos para a parte c). Queremos saber em que ponto a aceleração radial é máxima.
Observando a fórmula da aceleração radial:
ar = v^2r
Vemos que aumenta à medida que a velocidade aumenta ou o raio diminui. Portanto, a aceleração radial é máxima no ponto onde a velocidade tangencial é maximizada e o raio da trajetória é mínimo. Dependendo do contexto do problema (como uma partícula em movimento em uma trajetória específica), devemos identificar esses pontos máximos de velocidade e mínimos de raio para determinar onde alcança seu valor máximo.

Resposta

a) O vetor aceleração é , onde e .
b) A magnitude da aceleração total é e a direção forma um ângulo em relação à direção radial.
c) A aceleração radial é máxima no ponto onde a velocidade tangencial é máxima e o raio da trajetória é mínimo.

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