Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45° 60° e 90°? Justificar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta se os ângulos diretores de um vetor podem ser 45°, 60° e 90°. Aqui, estamos trabalhando com vetores e ângulos diretores. Para resolver, vamos precisar entender o que são esses ângulos e como eles se relacionam com o vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre ângulos diretores. Em um espaço tridimensional, um vetor tem três ângulos diretores que são os ângulos que ele forma com os eixos x, y e z. Esses ângulos são geralmente chamados de α (alfa), β (beta) e γ (gama).

Passo 3

Agora, uma coisa importante sobre esses ângulos diretores é que as cossenos desses ângulos têm uma relação específica. A soma dos quadrados desses cossenos deve ser igual a 1. Em fórmula, isso fica assim:
cos^2 alpha + cos^2 beta + cos^2 gamma = 1

Passo 4

Vamos aplicar isso aos ângulos que o exercício menciona: 45°, 60° e 90°. Primeiro, vamos calcular os cossenos desses ângulos:
  • cos 45° = raiz22 approx 0,7071
  • cos 60° = 12 = 0,5
  • cos 90° = 0

Passo 5

Agora, vamos elevar cada cosseno ao quadrado:
  • cos^2 45° = (0,7071)^2 approx 0,5
  • cos^2 60° = (0,5)^2 = 0,25
  • cos^2 90° = (0)^2 = 0

Passo 6

Em seguida, somamos esses valores:
0,5 + 0,25 + 0 = 0,75

Passo 7

A soma dos quadrados dos cossenos deu 0,75, mas, como vimos na fórmula, essa soma precisa ser igual a 1 para que os ângulos sejam diretores de um vetor.

Resposta

Não, os ângulos diretores de 45°, 60° e 90° não podem pertencer ao mesmo vetor, porque a soma dos quadrados dos seus cossenos é 0,75, que é diferente de 1.

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