Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45° 60° e 90°? Justificar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pergunta se os ângulos diretores de um vetor podem ser 45°, 60° e 90°. Aqui, estamos trabalhando com vetores e ângulos diretores. Para resolver, vamos precisar entender o que são esses ângulos e como eles se relacionam com o vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre ângulos diretores. Em um espaço tridimensional, um vetor tem três ângulos diretores que são os ângulos que ele forma com os eixos x, y e z. Esses ângulos são geralmente chamados de α (alfa), β (beta) e γ (gama).
Passo 3
Agora, uma coisa importante sobre esses ângulos diretores é que as cossenos desses ângulos têm uma relação específica. A soma dos quadrados desses cossenos deve ser igual a 1. Em fórmula, isso fica assim:
Passo 4
Vamos aplicar isso aos ângulos que o exercício menciona: 45°, 60° e 90°. Primeiro, vamos calcular os cossenos desses ângulos:
Passo 5
Agora, vamos elevar cada cosseno ao quadrado:
Passo 6
Em seguida, somamos esses valores:
Passo 7
A soma dos quadrados dos cossenos deu 0,75, mas, como vimos na fórmula, essa soma precisa ser igual a 1 para que os ângulos sejam diretores de um vetor.
Resposta
Não, os ângulos diretores de 45°, 60° e 90° não podem pertencer ao mesmo vetor, porque a soma dos quadrados dos seus cossenos é 0,75, que é diferente de 1.