Escreva os vetores velocidade e aceleração para os sistemas de coordenadas: (a) cartesianas e (b) polares. Observação: para isso você deverá mostrar detalhadamente todos os passos para a obtenção destes.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre vetores de velocidade e aceleração nos sistemas de coordenadas cartesianas e polares. A matéria aqui é Cinemática, que fala sobre movimento sem se preocupar com as causas. Para resolver, vamos precisar entender como representar o movimento nesses dois sistemas de coordenadas e aplicar um pouco de cálculo vetorial. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com o sistema de coordenadas cartesianas. Nesse sistema, temos três eixos perpendiculares entre si: , e . Vamos considerar apenas o movimento no plano para simplificar.

Passo 3

A posição de um objeto no sistema cartesiano é dada por um vetor posição com componentes nas direções e :
onde e são funções do tempo, e e são os vetores unitários nas direções e .

Passo 4

Para encontrar o vetor velocidade , derivamos o vetor posição em relação ao tempo:
Então, a velocidade tem componentes nas direções e , que são as derivadas das posições correspondentes.

Passo 5

Agora, para o vetor aceleração , derivamos o vetor velocidade em relação ao tempo:
Assim, a aceleração também tem componentes nas direções e , que são as segundas derivadas das posições.

Passo 6

Agora vamos para o sistema de coordenadas polares. Nesse sistema, a posição de um objeto é descrita pela distância até a origem e pelo ângulo em relação ao eixo .

Passo 7

O vetor posição em coordenadas polares é:
onde é o vetor unitário na direção de .

Passo 8

Para encontrar a velocidade, derivamos em relação ao tempo. Lembrando que também varia com o tempo, então usamos a regra do produto:
Sabemos que , onde é ortogonal a .

Passo 9

Substituindo, temos:
Então, a velocidade no sistema polar tem duas componentes: uma radial e outra tangencial.

Passo 10

Para a aceleração, derivamos a velocidade:
Simplificando as derivadas dos vetores unitários e reorganizando, obtemos:

Passo 11

Após simplificação, a aceleração em coordenadas polares fica:
Isso mostra que a aceleração tem componentes radial e tangencial, envolvendo derivadas de e .

Resposta

Pronto! Obtivemos os vetores velocidade e aceleração nos sistemas de coordenadas cartesianas e polares, detalhando cada passo e explicando as fórmulas usadas.

Exercícios relacionados

Um fertilizante sólido é submerso em um líquido com densidade de e desloca 0,3 litros de líquido. Se a massa do fertilizante é de , calcule sua densidade.
Considere uma caçamba aberta sobre uma esteira em movimento horizontal para direita com velocidade a massa inicial e velocidade inicial. Sendo que a medida que a caçamba avança a chuva vertical a atinge fazendo a sua massa aumentar à razão . Encontre a relação para o movimento da caçamba na chuva.
Em um sistema de irrigação por aspersão, a água é bombeada através de um tubo de diâmetro 5 cm com uma velocidade de . Calcule a pressão necessária na bomba para que a água saia dos aspersores a uma velocidade de . Considere a densidade da água como .
Um dispositivo de irrigação flutuante tem um volume de e é feito de um material com densidade de 800 . Calcule a fração do volume do dispositivo que ficará submersa quando colocado em água.