Escreva os vetores velocidade e aceleração para os sistemas de coordenadas: (a) cartesianas e (b) polares. Observação: para isso você deverá mostrar detalhadamente todos os passos para a obtenção destes.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre vetores de velocidade e aceleração nos sistemas de coordenadas cartesianas e polares. A matéria aqui é Cinemática, que fala sobre movimento sem se preocupar com as causas. Para resolver, vamos precisar entender como representar o movimento nesses dois sistemas de coordenadas e aplicar um pouco de cálculo vetorial. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com o sistema de coordenadas cartesianas. Nesse sistema, temos três eixos perpendiculares entre si:
,
e
. Vamos considerar apenas o movimento no plano
para simplificar.
Passo 3
A posição de um objeto no sistema cartesiano é dada por um vetor posição
com componentes nas direções
e
:
onde
e
são funções do tempo, e
e
são os vetores unitários nas direções
e
.
Passo 4
Para encontrar o vetor velocidade
, derivamos o vetor posição em relação ao tempo:
Então, a velocidade tem componentes nas direções
e
, que são as derivadas das posições correspondentes.
Passo 5
Agora, para o vetor aceleração
, derivamos o vetor velocidade em relação ao tempo:
Assim, a aceleração também tem componentes nas direções
e
, que são as segundas derivadas das posições.
Passo 6
Agora vamos para o sistema de coordenadas polares. Nesse sistema, a posição de um objeto é descrita pela distância
até a origem e pelo ângulo
em relação ao eixo
.
Passo 7
O vetor posição em coordenadas polares é:
onde
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 8
Para encontrar a velocidade, derivamos
em relação ao tempo. Lembrando que
também varia com o tempo, então usamos a regra do produto:
Sabemos que
, onde
é ortogonal a
.
Passo 9
Substituindo, temos:
Então, a velocidade no sistema polar tem duas componentes: uma radial e outra tangencial.
Passo 10
Para a aceleração, derivamos a velocidade:
Simplificando as derivadas dos vetores unitários e reorganizando, obtemos:
Passo 11
Após simplificação, a aceleração em coordenadas polares fica:
Isso mostra que a aceleração tem componentes radial e tangencial, envolvendo derivadas de
e
.
Resposta
Pronto! Obtivemos os vetores velocidade e aceleração nos sistemas de coordenadas cartesianas e polares, detalhando cada passo e explicando as fórmulas usadas.
Exercícios relacionados
Um fertilizante sólido é submerso em um líquido com densidade de
e desloca 0,3 litros de líquido. Se a massa do fertilizante é de
, calcule sua densidade.
Considere uma caçamba aberta sobre uma esteira em movimento horizontal para direita com velocidade
a massa inicial e
velocidade inicial. Sendo que a medida que a caçamba avança a chuva vertical a atinge fazendo a sua massa aumentar à razão
. Encontre a relação
para o movimento da caçamba na chuva.
Em um sistema de irrigação por aspersão, a água é bombeada através de um tubo de diâmetro 5 cm com uma velocidade de
. Calcule a pressão necessária na bomba para que a água saia dos aspersores a uma velocidade de
. Considere a densidade da água como
.
Um dispositivo de irrigação flutuante tem um volume de
e é feito de um material com densidade de 800
. Calcule a fração do volume do dispositivo que ficará submersa quando colocado em água.