Escreva os vetores velocidade e aceleração para os sistemas de coordenadas: (a) cartesianas e (b) polares. Observação: para isso você deverá mostrar detalhadamente todos os passos para a obtenção destes.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre vetores de velocidade e aceleração nos sistemas de coordenadas cartesianas e polares. A matéria aqui é Cinemática, que fala sobre movimento sem se preocupar com as causas. Para resolver, vamos precisar entender como representar o movimento nesses dois sistemas de coordenadas e aplicar um pouco de cálculo vetorial. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com o sistema de coordenadas cartesianas. Nesse sistema, temos três eixos perpendiculares entre si: , e . Vamos considerar apenas o movimento no plano para simplificar.

Passo 3

A posição de um objeto no sistema cartesiano é dada por um vetor posição r = x(t), i + y(t), j com componentes nas direções e :
onde e são funções do tempo, e e são os vetores unitários nas direções e .

Passo 4

Para encontrar o vetor velocidade v = drdt = dxdt, i + dydt, j , derivamos o vetor posição em relação ao tempo:
Então, a velocidade tem componentes nas direções e , que são as derivadas das posições correspondentes.

Passo 5

Agora, para o vetor aceleração a = dvdt = d^2xdt^2, i + d^2ydt^2, j , derivamos o vetor velocidade em relação ao tempo:
Assim, a aceleração também tem componentes nas direções e , que são as segundas derivadas das posições.

Passo 6

Agora vamos para o sistema de coordenadas polares. Nesse sistema, a posição de um objeto é descrita pela distância até a origem e pelo ângulo em relação ao eixo .

Passo 7

O vetor posição em coordenadas polares é:
r = r, er
onde é o vetor unitário na direção de .

Passo 8

Para encontrar a velocidade, derivamos v = drdt = drdt, er + r, derdt em relação ao tempo. Lembrando que também varia com o tempo, então usamos a regra do produto:
Sabemos que , onde é ortogonal a .

Passo 9

Substituindo, temos:
v = drdt, er + r, dthetadt, etheta
Então, a velocidade no sistema polar tem duas componentes: uma radial e outra tangencial.

Passo 10

Para a aceleração, derivamos a velocidade:
a = dvdt = d^2rdt^2, er + drdt, derdt + ddt(r, dthetadt) etheta + r, d^2thetadt^2, etheta
Simplificando as derivadas dos vetores unitários e reorganizando, obtemos:

Passo 11

Após simplificação, a aceleração em coordenadas polares fica:
a = ( d^2rdt^2 - r, (dthetadt)^2 ) er + ( r, d^2thetadt^2 + 2, drdt, dthetadt ) etheta
Isso mostra que a aceleração tem componentes radial e tangencial, envolvendo derivadas de e .

Resposta

Pronto! Obtivemos os vetores velocidade e aceleração nos sistemas de coordenadas cartesianas e polares, detalhando cada passo e explicando as fórmulas usadas.

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